使用自定义约束实现Python解算器

Question

我有两个相互关联的变量，我想找到一个最佳解决方案，在这种情况下，它们是最小的总和。 现在，让我们称它们为X和Y ，并与预定义的常量一起，它们加起来一组“变量” s1和s2 （后来提供约束）：

105896649.59 + X = s1
    -6738.82 + Y = s2

在搜索SciPy文档时，我遇到了线性编程解决方案，其中我有最小化函数（在本例中为X + Y ）以及我的变量绑定到的一组不等式和等式约束。 就我而言，它们如下：

• X >= 0, Y >= 0
• s1 >= 1, s2 >= 1
• s2 / (s1 + s2) = 0.0001%

对于这种特定情况，代码很容易实现：

from scipy.optimize import linprog

lstConst = [105896649.59, -6738.82]

# function to minimise: X + Y
c= [1, 1]

# left-hand side of the equation for s2 / (s1 + s2) = 0.0001%
# i.e., -0.000001 * X + 0.999999 * Y
Aeq = [[-0.000001, 0.999999]]

# right-hand side of the equation
beq = [0.000001 * (lstConst[0] + lstConst[1]) - lstConst[1]]

# ensures minimum can't be a negative number
minX = max(1, max(1 -lstConst[0], 0))
minY = max(1, max(1 -lstConst[1], 0))

X_bounds = (minX, None)

Y_bounds = (minY, None)

res = linprog(c, A_eq=Aeq, b_eq=beq, bounds=[X_bounds, Y_bounds])

所以我们有X和Y的值来最小化x参数的函数：

In [1]: res.x
Out[1]: array([1.00000000e+00, 6.84471676e+03])

---

我想建立在这种方法上：

1. 实际上，还有另一组限制： s1和s2也必须是整数（注意X和Y没有浮点数问题）。
2. 我没有为s1和s2之间的比率定义单个值，而是提供了不同可能比率的列表。

本质上，我想在s1和s2之间给出几个不同的比率，找到X + Y函数的最小值。 这可以通过迭代列表来定义每次迭代的Aeq和beq或定义其他限制（如果可能）来实现。

但是，我对整数限制毫无头绪，以及如何使线性规划算法将其考虑在内。

如果有人有另一个建议使用除SciPy和linprog之外的库/优化器，那也是受欢迎的。

Answer 1

首先，重申问题：

minimize x + y, subject to:

    k1 + x = s1
    k2 + y = s2
    x >= 0
    y >= 0
    s1 >= 1
    s2 >= 1
    s2 / (s1 + s2) = k3

Where:

    k1 = 105896649.59
    k2 = -6738.82
    k3 = 0.000001

注意，你不需要s1和s2变量来编译linprog的问题。 没有s1和s2辅助变量，问题是：

minimize x + y, subject to:

  x >= 0
  y >= 0
  x + k1 >= 1,
  y + k2 >= 1,
  (1-k3)y - k3x = (k1 + k2)k3 - k2

在linprog更容易阅读和编码：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog
k1, k2, k3 = 105896649.59, -6738.82, 0.000001
A_ub = -np.eye(2)
b_ub = [k1-1, k2-1]
A_eq = [[-k3, (1-k3)]]
b_eq = (k1 + k2)*k3 -k2
res = linprog([1,1], A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=[[0,None], [0, None]])
print(res)

这给出了[0., 6844.71675549] ，其中你有x = 1，因为你实际上已经将x和y的下限设置为1（我认为这是一个错字...）但它并不重要被问到的问题的背景：

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问题：

...我对整数限制毫无头绪，以及如何使线性规划算法将其考虑在内。

如果有人有另一个建议使用除SciPy和linprog之外的库/优化器，那也是受欢迎的。

您要求的是混合整数线性编程（MILP） 。 MILP和线性编程（LP）通常使用不同的算法求解，并且MILP问题通常难以精确解决。 SciPy Optimize不支持MILP。 有许多开源工具可以使用OrTools和PySCIPOpt ，它们是SCIP上的Python包装器。

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PySCIPOpt中的示例：

PySCIPOpt非常好，因为它有一个约束编程类型API。 在PySCIPOpt中，您的问题很容易以可读的形式陈述。 重新引入辅助变量，我们几乎可以逐字输入约束：

from pyscipopt import Model

k1, k2, k3 = 105896649.59, -6738.82, 0.000001
model = Model()
x = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="x", lb=0)
y = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="y", lb=0)
s1 = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="s1", lb=None, ub=None)
s2 = model.addVar(vtype="CONTINUOUS" name="s2", lb=None, ub=None)
o = model.addVar(vtype="CONTINUOUS", name="Objective Value", lb=0, ub=None)
model.addCons(k1 + x == s1)
model.addCons(k2 + y == s2)
model.addCons(s1 >= 1)
model.addCons(s2 >= 1)
model.addCons(s2/(s1+s2) == k3)
model.addCons(x + y == o)
model.setObjective(o, "minimize")
model.optimize()
print('x + y = o -> (%.4f + %.4f = %.4f)' % (model.getVal(x), model.getVal(y), model.getVal(o)))

给出与linprog相同的答案，因为它只是一个线性程序。 但是，由于SCIP支持MILP，我们可以引入整数变量。 要处理你的情况＃1，只需将s1和s2更改为整数：

...
s1 = model.addVar(vtype="INTEGER", name="s1", lb=None, ub=None)
s2 = model.addVar(vtype="INTEGER", name="s2", lb=None, ub=None)

得到：

...
SCIP Status        : problem is solved [optimal solution found]
Solving Time (sec) : 0.00
Solving Nodes      : 1
Primal Bound       : +1.10089229999989e+05 (1 solutions)
Dual Bound         : +1.10089229999989e+05
Gap                : 0.00 %
x + y = o -> (103244.4100 + 6844.8200 = 110089.2300)

这是一个完全不同的解决方案......但这就是为什么MILP不是LP。

从上面的例子中，通过阅读文档 ，您应该能够弄清楚如何编写＃2案例 - 基本上像1/k3这样的东西成为模型中的另一个整数变量。