在模拟数据上估计两个x值之间的范围内的概率密度

Question

我想评估我模拟的数据的概率密度。

1. 我知道，如果我只是想查找正态分布上单个x值的概率密度，则可以按以下方式使用dnorm() ：

dist_mean <- 10
dist_sd <- 0.2
prob_density_on_x_val <- dnorm(x = 9.9,
                               mean = dist_mean,
                               sd = dist_sd)

prob_density_on_x_val

[1] 1.760327

2. 但是，如果我想评估模拟数据中两个x值之间的范围的概率密度，该怎么办？

dist_mean <- 10
dist_sd <- 0.2

## simulate 100,000 values from the normal distribution, 
## given specific mean and standard deviation.
set.seed(123)
random_vals <- rnorm(n = 100000,
                     mean = dist_mean,
                     sd = dist_sd)


hist(random_vals)

3. 我的100,000个生成的值是原始值，并且它们的形状正常。 但是，这不是概率密度函数，因为曲线下的面积不等于1。

library("pracma")
trapz(random_vals)

random_vals
[1] 1000009

我的问题：

1. 给定我的模拟数据，如何为它创建概率密度函数？
2. 创建后，如何估算两个x值之间的范围的曲线（1）在曲线下的概率和（2）曲线上的概率密度？ 例如，概率和概率密度在x = 9.7和10.2之间。 或任何其他范围。

我试图弄清楚这一点：

@Glen_b在此评论中表示，使用ecdf()是在两个x值“ a”和“ b”之间的范围内计算概率的方法： ecdf(b)-ecdf(a) 。 但是，有些事情没有意义，因为：

cdf <- ecdf(random_vals)
range_density <- cdf(10.2)-cdf(9.7)

range_density
[1] 0.77358

点值（x = 9.9）的概率密度怎么可能是1.76，但是对于9.7<x<10.2的范围，它的概率密度较小（0.77）？ 两种分布（用dnorm定义的dnorm和用rnorm模拟的分布）均具有相同的均值和sd。

因此，我想我缺少一些基本知识，感谢您的帮助。 总体而言，这似乎是一个非常简单的问题，但是尽管有大量的阅读和挖掘，但我找不到一个简单的解决方案。

谢谢！

编辑

我所缺少的是以下两者之间的区别：

• x值范围的概率 ：pdf曲线下的面积
• 特定x值的概率密度 ：给定x值的函数值（这是dnorm()有用的功能）
• 沿pdf曲线的范围的概率密度 ，介于两个x值之间（选择的答案+注释可解决该问题）

Answer 1

计算连续概率函数中单个值的概率是没有意义的，根据定义它为零，但是您可以计算相对可能性。 您对random_vals总和不等于1做出反应，但是prob_density_on_x_val是否不等于1？

Glen当然是正确的，因为ecdf()是进行非参数估计的方法，但是如果您期望正态分布，也可以进行参数估计。

dist_mean <- 10
dist_sd <- 0.2
a <- 9.7
b <- 10.2

set.seed(123)
r <- rnorm(1e4, dist_mean, dist_sd)

# population
pnorm(b, dist_mean, dist_sd) - pnorm(a, dist_mean, dist_sd)
# [1] 0.7745375

# parametric estimate
pnorm(b, mean(r), sd(r)) - pnorm(a, mean(r), sd(r))
# [1] 0.7753985

# nonparametric estimate
ecdfun <- ecdf(r)
ecdfun(b) - ecdfun(a)
# [1] 0.7754

Answer 2

您可以使用函数density和approxfun获得概率密度函数。

DensityFunction = approxfun(density(random_vals), rule=2)
DensityFunction(9.7)
[1] 0.6410087
plot(DensityFunction, xlim=c(9,11))

您可以使用integrate获取曲线下的面积

AreaUnderCurve = function(lower, upper) {
    integrate(DensityFunction, lower=lower, upper=upper) }

AreaUnderCurve(10,11)
0.5006116 with absolute error < 6.4e-05
AreaUnderCurve(9.5,10.5)
0.9882601 with absolute error < 0.00011

您还问：

点值（x = 9.9）的概率密度如何可能为1.76，但范围为9.7

pdf（1.76）的值是曲线的高度。 您获得的范围值是曲线下的面积。 由于间隔的宽度为0.5，因此曲线下的面积小于高度就不足为奇了。