理解一元函数组合

Question

我正在从“Learn You a Haskell for Great Good！”一书中学习 monads。 通过米兰利波瓦卡。 我试图理解 monad 的结合律。 本质上，法律规定，当您拥有一串带有>>=的单子函数应用程序时，它们的嵌套方式无关紧要。

以下代码可以将a -> mb类型的函数的结果传递给b -> mc类型的函数：

(<=<) :: (Monad m) => (b -> m c) -> (a -> m b) -> (a -> m c)
f <=< g = (\x -> g x >>= f)

但是，对于下面的示例：

ghci> let f x = [x, -x]
ghci> let g x = [x*3, x*2]
ghci> let h = f <=< g
ghci> h 3
[9, -9, 6, -6]

fx和gx都是函数吗？ 似乎它们是具有不同 x 值而不是函数的列表。 在上面的代码中，这行let h = f <=< g工作的？ f和g必须是函数，因为它们与<=<一起使用，但我不确定它们是什么。

Answer 1

f x = [x, -x]

这是普通的函数定义语法。 我们正在定义一个新函数f ，写下它应用于假设值x时会产生什么。

let （无论是作为语句还是let ... in ...表达式）只是引入了一个可以进行定义的块，就像where一样。 定义本身使用与全局定义相同的语法。

如果您知道如何通过在文件中编写例如plusOne n = n + 1来定义函数，那么此语法是完全相同的（如果您不知道该怎么做，那么我建议您阅读一些介绍性教程在尝试理解 monadic 函数组合之前，请先了解基本的 Haskell 语法）。

所以在这些定义之后f和g是函数。 fx和gx没有真正意义，因为您没有将它们应用到的x范围。

如果您在范围内确实有这样的值，那么fx将是一个计算结果为列表的表达式，其中涉及调用函数f 。 说fx或gx是函数仍然是不正确的。

所以现在应该清楚let h = f <=< g通过将<=<运算符应用于f和g来定义一个新值h 。

Answer 2

没有什么比在一张纸上手工完成定义更能获得理解的感觉了。

fx = [x, -x]也可以写成f = (\\ x -> [x, -x]) 。 因此

  h 3 
= {- by def of h -}
  (f <=< g) 3 
= {- by def of (<=<) -}
  (\x -> g                   x >>= f               ) 3
= {- by defs of f and g -}
  (\x -> (\ x -> [x*3, x*2]) x >>= (\ x -> [x, -x])) 3
= {- by substitution -}
         (\ x -> [x*3, x*2]) 3 >>= (\ x -> [x, -x])
= {- by substitution -}
                 [3*3, 
                  3*2]         >>= (\ x -> [x, -x])
= {- by definition of (>>=) for [] -}
  concat [       (3*3)         &   (\ x -> [x, -x])  -- x & f == f x
         ,       (3*2)         &   (\ x -> [x, -x]) 
         ]
= {- by definition of concat -}
                 (3*3)         &   (\ x -> [x, -x])
         ++      (3*2)         &   (\ x -> [x, -x]) 
= 
  [9, -9, 6, -6]

（编辑）有关图片以及对这些Kleisli 箭头及其可组合性的更多讨论，请参阅我的这个较旧的答案。