第五反对称

Question

我到了这一点：

Theorem le_antisymmetric :
  antisymmetric le.
Proof.
  unfold antisymmetric. intros a b H1 H2. generalize dependent a.
  induction b as [|b' IH].
  - intros. inversion H1. reflexivity.
  - intros.

输出：

b' : nat
IH : forall a : nat, a <= b' -> b' <= a -> a = b'
a : nat
H1 : a <= S b'
H2 : S b' <= a
------------------------------------------------------
a = S b'

我的计划是使用le传递性：

a <= b-> b <= c-> a <= c

并替换a：= a，b：=（S b'）和c：= a。

因此，我们将获得：

a <=（S b'）->（S b'）<= a-> a <= a

我将H1和H2用作所需的两个假设，并得到Ha：a <= a。 然后对其进行反演，并获得构造a = a的唯一方法。

但是，我应该使用哪种语法将2个假设应用于传递性以获得Ha？

Answer 1

您对b第一次归纳似乎是不必要的。 考虑le ：

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
    le_n : n <= n | le_S : forall m : nat, n <= m -> n <= S m

相反，您应该首先检查H1 。 如果是le_n ，那么就相等了，您就完成了。 如果是le_S ，那么大概是不可能的。

intros a b [ | b' H1] H2.
- reflexivity.

这给我们留下了

a, b, b' : nat (* b is extraneous *)
H1 : a <= b'
H2 : S b' <= a
______________________________________(1/1)
a = S b'

现在 ，传递性变得有意义。 它可以给您S b' <= b' ，这是不可能的。 您可以使用归纳法导出矛盾（我认为），也可以使用现有的引理。 因此，整个证明就是如此。

intros a b [ | b' H1] H2.
- reflexivity.
- absurd (S b' <= b').
  + apply Nat.nle_succ_diag_l.
  + etransitivity; eassumption.

最后一点是使用传递性的一种方法。 etransitivity将目标R xz转换为R x ?y和R ?yz ，以获得新的存在变量?y 。 eassumption然后找到与该模式匹配的假设。 在这里，具体来说，您将获得目标S b' <= ?y和?y <= b ，分别由H2和H1填充。 你也可以给中间值明确，它可以让你放下e xistential前缀。

transitivity a; assumption.