第五反對稱

Question

我到了這一點：

Theorem le_antisymmetric :
  antisymmetric le.
Proof.
  unfold antisymmetric. intros a b H1 H2. generalize dependent a.
  induction b as [|b' IH].
  - intros. inversion H1. reflexivity.
  - intros.

輸出：

b' : nat
IH : forall a : nat, a <= b' -> b' <= a -> a = b'
a : nat
H1 : a <= S b'
H2 : S b' <= a
------------------------------------------------------
a = S b'

我的計划是使用le傳遞性：

a <= b-> b <= c-> a <= c

並替換a：= a，b：=（S b'）和c：= a。

因此，我們將獲得：

a <=（S b'）->（S b'）<= a-> a <= a

我將H1和H2用作所需的兩個假設，並得到Ha：a <= a。 然后對其進行反演，並獲得構造a = a的唯一方法。

但是，我應該使用哪種語法將2個假設應用於傳遞性以獲得Ha？

Answer 1

您對b第一次歸納似乎是不必要的。 考慮le ：

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
    le_n : n <= n | le_S : forall m : nat, n <= m -> n <= S m

相反，您應該首先檢查H1 。 如果是le_n ，那么就相等了，您就完成了。 如果是le_S ，那么大概是不可能的。

intros a b [ | b' H1] H2.
- reflexivity.

這給我們留下了

a, b, b' : nat (* b is extraneous *)
H1 : a <= b'
H2 : S b' <= a
______________________________________(1/1)
a = S b'

現在 ，傳遞性變得有意義。 它可以給您S b' <= b' ，這是不可能的。 您可以使用歸納法導出矛盾（我認為），也可以使用現有的引理。 因此，整個證明就是如此。

intros a b [ | b' H1] H2.
- reflexivity.
- absurd (S b' <= b').
  + apply Nat.nle_succ_diag_l.
  + etransitivity; eassumption.

最后一點是使用傳遞性的一種方法。 etransitivity將目標R xz轉換為R x ?y和R ?yz ，以獲得新的存在變量?y 。 eassumption然后找到與該模式匹配的假設。 在這里，具體來說，您將獲得目標S b' <= ?y和?y <= b ，分別由H2和H1填充。 你也可以給中間值明確，它可以讓你放下e xistential前綴。

transitivity a; assumption.