Rbar / Rbar_le / coquelicot lemma

Question

我正在通過 Coq 8.12.0 參考手冊學習 Coq，但無法證明以下引理。

From Coq Require Import Lia Reals Lra List.

Lemma lemma1 : forall (x y:Rbar), Rbar_le x 0 -> Rbar_le y 0
   -> Rbar_le (Rbar_plus x y) 0.

Proof.
destruct x ; destruct y ; simpl ; intuition.
destruct H.
destruct H0.
unfold Rle.
auto with real.
right.
...

然后我被卡住以完成證明。 有任何想法嗎？

Answer 1

當您輸入right的策略時，您在證明中做出了一個未被假設中的事實證實的選擇。 你應該刪除這條線，並嘗試找到另一種方法來證明你最初的猜想，這似乎真的可以證明。

實際上，如果您開始展開Rle的定義並使用destruct ，您將進入太多細節。 你之后的目標...; intuition ...; intuition如下：

1 subgoal (ID 207)

  r, r0 : R
  H : r <= 0
  H0 : r0 <= 0
  ============================
  r + r0 <= 0

這是簡單線性算術的目標（因為我們只將變量相加並使用簡單的比較）。 這可以通過一種稱為lra的強大策略來解決。 就叫吧。 您的證明的完整腳本在這里：

Lemma lemma1 : forall (x y:Rbar), Rbar_le x 0 -> Rbar_le y 0
   -> Rbar_le (Rbar_plus x y) 0.

Proof.
destruct x ; destruct y ; simpl ; intuition.
lra.
Qed.