幺半群和函子之间有什么关系？

Question

我试图了解仿函数和幺半群之间的关系。 它们经常被一起提及，但我无法完全将它们联系起来。

我明白，简单地说，在编程中，幺半群可以被认为是一种结构或数据类型，具有关联的追加/连接 function 用于组合结构中的元素以及标识元素，如果您将标识值与结构中的一个元素，它将始终返回相同的元素。

我还认识到，在编程中，可以将仿函数视为具有类似于Array.prototype.map()的 map 操作的类集合结构。

谁能帮我看看这里的大图？ 另外，如果我对这些概念的理解有任何遗漏，请随时告诉我。

Answer 1

函子是类别之间的结构保持转换。

它

有点像类别之间的同态。

在Haskell这样的FP语言中， Functor class的定义分为两部分：

class Functor f where 
  fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)

类型f将对象（Haskell 类型）映射到同一类别中的其他对象（Haskell 类型）。 它将a映射到fa 。

一个幺半群（具有身份的半群）

Haskell中定义如下

class Semigroup s => Monoid s where
  mempty  :: s
  
  mappend :: s -> s -> s
  mappend = (<>)

它们是两种不同的东西，但是

它们经常被一起提及，但我无法完全将它们联系起来。

他们经常一起被提及是因为另一件事，一个 Monad。

一个 monad（monoids 或 endofunctors 中的 monoids 的特例）是

它本质上结合了这两个概念。

Haskell

(>>=)       :: m a -> (a -> m b) -> m b
(>>)        :: m a -> m b -> m b
return      :: a -> m a

暗示

fmap f m  =  m >>= return . f

更简洁地说，

monad 只是 endo functors类别中的一个幺半群，有什么问题？

您可能已经在 FP 论坛上看到过开玩笑地使用它。 这是一个版本

X 中的单子只是 X 的内函子范畴中的幺半群

最初来自 Mac Lane 的工作数学家类别。

Answer 2

这两个术语都来自范畴论的一个数学分支，该分支研究元素的分类、元素之间的关系以及元素之间函数的可组合性。 这门学科在函数式编程中具有强大的影响力，因此这些术语通常出现在有关这些范式的讨论中。

实际上，函子和幺半群术语在编程中的翻译如下：

Functor保留了两个不同类别的元素之间的结构和关系，这意味着 Functor 是一个“结构”，它提供了一个元素的构造函数。（保留结构，因为每个元素都映射到另一个类别的元素）和一个map function （保留关系“功能”映射每个 function 的原始分类到目标之一）

Monoid它是一个内函子（起源和目标类别相同的函子），它定义和标识操作和关联操作，例如列表是一个幺半群，因为它定义了一个标识操作（空列表）和关联操作（附加）