幺半群和函子之間有什么關系？

Question

我試圖了解仿函數和幺半群之間的關系。 它們經常被一起提及，但我無法完全將它們聯系起來。

我明白，簡單地說，在編程中，幺半群可以被認為是一種結構或數據類型，具有關聯的追加/連接 function 用於組合結構中的元素以及標識元素，如果您將標識值與結構中的一個元素，它將始終返回相同的元素。

我還認識到，在編程中，可以將仿函數視為具有類似於Array.prototype.map()的 map 操作的類集合結構。

誰能幫我看看這里的大圖？ 另外，如果我對這些概念的理解有任何遺漏，請隨時告訴我。

Answer 1

函子是類別之間的結構保持轉換。

它

有點像類別之間的同態。

在Haskell這樣的FP語言中， Functor class的定義分為兩部分：

class Functor f where 
  fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)

類型f將對象（Haskell 類型）映射到同一類別中的其他對象（Haskell 類型）。 它將a映射到fa 。

一個幺半群（具有身份的半群）

Haskell中定義如下

class Semigroup s => Monoid s where
  mempty  :: s
  
  mappend :: s -> s -> s
  mappend = (<>)

它們是兩種不同的東西，但是

它們經常被一起提及，但我無法完全將它們聯系起來。

他們經常一起被提及是因為另一件事，一個 Monad。

一個 monad（monoids 或 endofunctors 中的 monoids 的特例）是

它本質上結合了這兩個概念。

Haskell

(>>=)       :: m a -> (a -> m b) -> m b
(>>)        :: m a -> m b -> m b
return      :: a -> m a

暗示

fmap f m  =  m >>= return . f

更簡潔地說，

monad 只是 endo functors類別中的一個幺半群，有什么問題？

您可能已經在 FP 論壇上看到過開玩笑地使用它。 這是一個版本

X 中的單子只是 X 的內函子范疇中的幺半群

最初來自 Mac Lane 的工作數學家類別。

Answer 2

這兩個術語都來自范疇論的一個數學分支，該分支研究元素的分類、元素之間的關系以及元素之間函數的可組合性。 這門學科在函數式編程中具有強大的影響力，因此這些術語通常出現在有關這些范式的討論中。

實際上，函子和幺半群術語在編程中的翻譯如下：

Functor保留了兩個不同類別的元素之間的結構和關系，這意味着 Functor 是一個“結構”，它提供了一個元素的構造函數。（保留結構，因為每個元素都映射到另一個類別的元素）和一個map function （保留關系“功能”映射每個 function 的原始分類到目標之一）

Monoid它是一個內函子（起源和目標類別相同的函子），它定義和標識操作和關聯操作，例如列表是一個幺半群，因為它定義了一個標識操作（空列表）和關聯操作（附加）