创建一个递归为 T(n) = T(n/3) + T(n/4) + O(n^2) 的算法

Question

我如何 go 关于这样的问题： T(n) = T(n/3) + T(n/4) + O(n^2)

我可以使用两个 for 循环，这会给我O(n^2) ，对吧？

Answer 1

为了解释这个等式，用英文读为：“大小为 n 的输入的运行时间等于大小为 n/3 的输入的运行时间，加上大小为 n/4 的输入的运行时间，再加上时间与 n^2" 成正比。

例如，使用嵌套循环可以编写与 n^2 成比例运行的代码，尽管编写像for i in range(n ** 2): ...这样的单个循环更简单。

编写运行时间等于输入大小为 n/3 或 n/4 的算法所需时间的代码甚至更容易 - 只需使用该大小的输入递归调用算法。 （不要忘记递归终止的基本情况。）

放在一起，代码可能看起来像这样：

def nonsense_algorithm(n):
    if n <= 0:
        print('base case')
    else:
        nonsense_algorithm(n // 3)
        nonsense_algorithm(n // 4)
        for i in range(n ** 2):
            print('constant amount of text')

我使用了 integer 除法（向下舍入），因为我认为否则没有意义。

Answer 2

在这里，我们将使用for和range(start, stop, steps) ，可能使用简单易懂的算法，类似于：

def algorithm_n2(n: int) -> int:
    """Returns an integer for a O(N2) addition algorithm

    :n: must be a positive integer
    """
    if n < 1:
        return False

    output = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            output += n * 2

    for i in range(0, n, 3):
        output += n / 3

    for i in range(0, n, 4):
        output += n / 4

    return int(output)


# Test
if __name__ == "__main__":

    print(algorithm_n2(24))

在方法中使用print()并不是最佳实践。

Output

27748