牛顿求根函数不适用于 R 中的 sqrt(x)

Question

目前正在做一个基于寻根算法的家庭作业：

求根算法也可用于逼近某些函数。 以数学方式说明平方根函数 f(x) = √x 的评估如何表示为求根问题。4 使用牛顿法和二分法来近似 x 的不同值的 √x。 将您的近似值与 R 函数 sqrt 进行比较。 对于 x 的哪些值，近似值工作得很好？ 牛顿法还是二分法性能更好？ 这些问题的答案如何取决于您的起始值？

到目前为止，我有以下代码适用于每个功能：

newton.function <- function(f, fPrime, nmax, eps, x0){
  n <- 1
  x1 <- x0
  result <- c()
  while((n <= nmax) && (abs(f(x1)) >= eps)){
    x1 <- (x0 - (f(x0)/fPrime(x0)))
    result <- c(result, x1)
    n <- n + 1
    x0 <- x1
  }
  iterations <- n - 1
  return(c(iterations, result[length(result)]))
}

平方函数：

g <- function(x){
  x^(1/2)
}

gPrime <- function(x){
  1/(2*x^(1/2))
}

当我执行该函数时，我要么在 if (abs(f(x1)) <= eps) break 中得到错误：缺少需要 TRUE/FALSE 的值，或者如果 x0 = 0 我得到 1 和 0 结果。

newton.function(f = g, fPrime = gPrime, nmax = 1000, eps = 1E-8, x0 = 0)

我的二分功能同样糟糕，我无法回答这个问题。

Answer 1

从编程的角度来看，您的代码按预期工作。

如果你从 0 开始，这是精确的解，你会得到 0，很好。

现在看看从任何其他数字开始时会发生什么：

x1 <- (x0 - (f(x0)/fPrime(x0))) = (x0 - (x0^(1/2)/(1/(2*x^(1/2)))))
= x0-2x0 = -x0

因此，如果您从一个正数开始，则在第一次迭代后x1将为负数，并且由于您询问负数的平方根，因此对f(x1)的下一次调用将返回NaN 。

错误消息告诉您 R 无法将abs(f(x1)) >= eps评估为 TRUE 或 FALSE，实际上， abs(f(x1))返回 NaN 并且在这种情况下>=运算符也返回NaN 。 这正是错误消息告诉您的内容。

所以我建议你看一些数学资料来检查你的算法，但 R 部分没问题。