这个CFG描述的语言是什么？

Question

这个CFG描述的语言是什么？

Answer 1

我们可以写出一些语言中最短的字符串来感受一下：

S -> aTb -> ab
S -> aTb -> aabb
S -> SS -> … -> abab
S -> SS -> … -> abaabb
S -> SS -> … -> aabbab

我们注意到，语法生成的唯一字符串将S每个实例都转换为ab或aabb 。 此外，我们可以仅使用S -> SS以中间形式获得任意数量的S 。 因此，这是常规语言(ab + aabb)+ 。

证明是通过对字符串长度 n 进行归纳。

基本情况：最短的字符串 ab 和 aabb 在语言(ab + aabb)+ ，并由如上所示的语法生成。

归纳假设：语法生成的语言与长度为k所有字符串的语言(ab + aabb)+相匹配。

归纳步骤：我们必须证明由次高长度的语法生成的字符串在该语言中，而次高长度的语言中的字符串由该语法生成。 注意：语法只能生成偶数字符串，而语言(ab + aabb)+只包含偶数字符串，所以真正的下一个最高步骤是大于k的最小偶数。

我们知道长度为k字符串的语言和语法匹配。 设 X 为长度为 k 的语言的所有字符串的集合，Y 为长度为 k - 2 的语言的所有字符串的集合。然后，语法通过修改中的字符串的派生生成一组字符串 X' X 使用生产S -> SS一次额外的时间，然后为刚刚引入的S实例选择S -> aTb -> ab 。 该语法还通过修改 Y 中字符串的派生来生成一组字符串 Y' 以使用产生式S -> SS一次额外的时间，然后为刚刚引入的S实例选择S -> aTb -> aabb 。 这些相同的字符串匹配正则表达式，因为 X 和 Y 中的字符串匹配，而 X' 和 Y' 只是添加了 ab 或 aabb 的那些字符串，这是 Kleene 星允许的。
类似地，匹配正则表达式的长度为 k 和 k-2 的字符串可以在末尾添加 ab 或 aabb（感谢 Kleene 星）以获得所有匹配的长度为 k+2 的字符串。 但是这些也必须由语法生成，因为前缀是由语法生成的，我们有生产（上面概述）允许我们向我们的派生字符串引入额外的 ab 或 aabb。

换句话说，语言是所有字符串的集合，这些字符串是以任意顺序连接任意数量的字符串 ab 和 aabb 的实例。