Knuth 的 TAOCP 算法 4.3.1D 中是否存在错误？

Question

您可以找到算法 4.3.1D 的解释，它出现在计算机编程艺术卷。 2 （第 272-273 页）由 D. Knuth 在此问题的附录中提供。

看起来，在步骤D.6 中， qhat预计最多关闭 1。

让我们假设基数是2^32 （即我们正在使用无符号 32 位数字）。 让u = [238157824, 2354839552, 2143027200, 0]和v = [3321757696, 2254962688] 。 此分部的预期输出为4081766756 链接

u和v都已经按照D.1 中的描述进行了归一化（ v[1] > b / 2并且u是零填充的）。

循环D.3到D.7 的第一次迭代是无操作的，因为在第一次迭代中qhat = floor((0 * b + 2143027200) / (2254962688)) = 0 。

在循环的第二次迭代中， qhat = floor((2143027200 * b + 2354839552) / (2254962688)) = 4081766758 Link 。

我们不需要计算步骤D.4和D.5来了解为什么这是一个问题。 由于在D.6 中qhat会减一，因此算法的结果将是4081766758 - 1 = 4081766757 ，但是，结果应该是4081766756 Link 。

我认为算法中存在错误是否正确，或者我的推理是否存在谬误？

附录

Answer 1

没有错误； 您忽略了步骤 D3 中的循环：

在您的示例中，作为此测试的结果，最初设置为 4081766758 的 q̂ 的值减少了两次，首先是 4081766757，然后是 4081766756，然后再继续执行步骤 D4。

（抱歉，我没有时间做出更详细/“正确”的回答。）