为给定的运行时 function f(n)=O(n^2)+nlog(n) 找到可能的大 theta？

Question

假设 f( n ) = O( n ² ) + n log n 。 以下哪项是可能的？

1. f( n ) = Θ(log n )
2. f( n ) = Θ( n )
3. f( n ) = Θ( n ² )
4. f( n ) = Θ( n ³ )

由于包含 O( n ² )，我对运行时 function 有点困惑。 我相信答案是 2 和 3，因为它们中的每一个都可以乘以一个数字来达到 O( n ² )。 具体来说，Θ( n ² )可以乘以1达到上界O( n ² )，而Θ( n )可以乘以n达到上界O( n ² )。

我对么？

Answer 1

我想唯一正确的答案是（3）。 O(n^2)是任何 function，其增长速度与n^2一样快或更慢。 n log n = O(n^2) ，所以O(n^2) + n log n是任何 function 渐近“介于” n log n和n^2之间。 在您问题中的所有 Thetas 中，只有第三个符合这些界限。

Answer 2

f(n) = O(n^2) + nlogn 表示 O(n^2) 中有 ag(n) 使得 f(n) = g(n) + nlogn。

O(n^2) 中的 g(n) 表示 |g(n)| < cn^2 对于一些正常数 c，并且所有足够大的 n。 绝对值 || 定义中的条允许 g(n) 为负的可能性。

这意味着 1、2、3 可能是正确答案。 f(n) 不能为负数，因为它描述了运行时间，但没有理由 O(n^2) 项不能为负数。

1. g(n) = logn - nlogn 为 O(n^2)，并且 g(n) + nlogn = logn。
2. g(n) = n - nlogn 是 O(n^2)，并且 g(n) + nlogn = n
3. g(n) = n^2 - nlogn 是 O(n^2)，并且 g(n) + nlogn = n^2
4. 不可能。

（请注意，这个问题是用大θ 来表达的，但 f(n) 有可能与 1、2 和 3 中的界限完全匹配）。

如果您假设 O(n^2) 项为非负数，则 3 是唯一的解决方案。

Answer 3

在回答这些类型的问题时，请确保您 go 回到大θ的定义。 对于 function f要在 function g的Θ(g(n))中，必须满足以下条件：

1. 存在一个大于 0 的常数 k ₁
2. 存在一个大于 0 的常数 k ₂
3. 存在某个起始值，n ₀
4. 对于所有 n > n ₀ ， k ₁ * g(n) <= f(n) <= k ₂ * g(n)

(4) 基本上意味着随着 f(n) 的增长，对于相同的 n，k ₁ * g(n) 增长较慢，而 k ₂ * g(n) 增长较快。

幸运的是，当它们并排绘制时，这些函数之间的关系真的很容易看出:)

下面我们可以看到所有功能并排绘制：

• 蓝色是f(n)
• 绿色是log n
• 紫色是n
• 黑色是n^2
• 红色是n^3

基于这个 plot，我们可以立即丢弃log n 、 n和n^3 ，因为没有两个常数可以约束这些函数，它们会随着n的增长而约束f(n) 。

然而， n^2看起来很有希望。 我们只需要找到允许n^2限制f(n)增长的两个常数。

下面我们可以看到两个这样的常量：

• 蓝色是f(n)
• 绿色是1 * n^2
• 紫色是4 * n^2

通过找到这些常数，我们可以明确地说n^2 + n (log n)是Θ(n^2)