证明g（n）为o（f（n）），则f（n）+ g（n）为Theta（f（n））

Question

因此，我正在努力证明（或证明）上述问题。 我觉得这是真的，但是我不确定如何显示它。

同样，问题是如果g（n）为o（f（n）），则f（n）+ g（n）为Theta（f（n））

注意，那是一个小o ， 不是大o ！！！

到目前为止，我已经成功地（轻松地）证明了：

g（n）= o（f（n）） -> g（n）<c * f（n）

然后g（n）+ f（n）<（c + 1）* f（n） -> （g（n）+ f（n））= O （f（n））

但是，对于显示Big Omega，我不确定该怎么做。

我要这样做吗？

编辑：每个人都提供了很大的帮助，但我只能标记一个。 谢谢。

Answer 1

一种选择是取（f（n）+ g（n））/ f（n）的极限，因为n趋于无穷大。 如果这收敛到一个有限的非零值，则f（n）+ g（n）=Θ（f（n））。

假设对于足够大的n，f（n）不为零，则上述比率在极限范围内为

（f（n）+ g（n））/ f（n）

= f（n）/ f（n）+ g（n）/ f（n）

= 1 + g（n）/ f（n）。

因此，当极限为n到无穷大时，由于该比率变为零（因此g（n）为o（f（n）），因此上述表达式收敛为1。

Answer 2

到现在为止还挺好。

对于下一步，请记住最好的情况是0 <= g(n) ; 这应该给你g(n) + f(n)的下界。

Answer 3

在开始之前，让我们首先说明little-o和Big-Theta表示法的含义：

小o表示法

形式上， g(n) = o(f(n)) （或g(n) ∈ o(f(n)) ）对于足够大的n成立，意味着对于每个正常数ε都有一个常数N使得

 |g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for all n > N (+) 

来自https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Little-o_notation 。

大Θ符号

h(n) = Θ(f(n))表示存在正常数k_1 ， k_2和N ，因此k_1 · |f(n)| 和k_2 · |f(n)| 是|h(n)|的上限和下限 分别对于n > N ，即

 k_1 · |f(n)| ≤ |h(n)| ≤ k_2 · |f(n)|, for all n > N (++) 

来自https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/big-big-theta-notation 。

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给定： g(n) ∈ o(f(n))

因此，在我们的情况下，对于每个ε>0 ，对于函数g(n)和f(n) ，我们可以找到一些常数N使得(+) f(n) 。 因此，对于n>N ，我们有

|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for some ε>0, for all n>N

Choose a constant ε < 1 (recall, the above holds for all ε > 0), 
with accompanied constant N. 
Then the following holds for all n>N

    ε(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 2|f(n)| ≤ 2(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 4*|f(n)|    (*)

去除(*)最左边的不等式并除以2，我们得到：

|f(n)| ≤ |g(n)| + |f(n)| ≤ 2*|f(n)|, n>N                            (**) 

我们看到，这是定义非常清晰的Big-Θ符号，如(++) ，常数k_1 = 1 ， k_2 = 2且h(n) = g(n)+f(n) 。 因此

(**) => g(n) + f(n) is in Θ(f(n))

Ans我们已经证明g(n) ∈ o(f(n))意味着(g(n) + f(n)) ∈ Θ(f(n)) 。