證明g（n）為o（f（n）），則f（n）+ g（n）為Theta（f（n））

Question

因此，我正在努力證明（或證明）上述問題。 我覺得這是真的，但是我不確定如何顯示它。

同樣，問題是如果g（n）為o（f（n）），則f（n）+ g（n）為Theta（f（n））

注意，那是一個小o ， 不是大o ！！！

到目前為止，我已經成功地（輕松地）證明了：

g（n）= o（f（n）） -> g（n）<c * f（n）

然后g（n）+ f（n）<（c + 1）* f（n） -> （g（n）+ f（n））= O （f（n））

但是，對於顯示Big Omega，我不確定該怎么做。

我要這樣做嗎？

編輯：每個人都提供了很大的幫助，但我只能標記一個。 謝謝。

Answer 1

一種選擇是取（f（n）+ g（n））/ f（n）的極限，因為n趨於無窮大。 如果這收斂到一個有限的非零值，則f（n）+ g（n）=Θ（f（n））。

假設對於足夠大的n，f（n）不為零，則上述比率在極限范圍內為

（f（n）+ g（n））/ f（n）

= f（n）/ f（n）+ g（n）/ f（n）

= 1 + g（n）/ f（n）。

因此，當極限為n到無窮大時，由於該比率變為零（因此g（n）為o（f（n）），因此上述表達式收斂為1。

Answer 2

到現在為止還挺好。

對於下一步，請記住最好的情況是0 <= g(n) ; 這應該給你g(n) + f(n)的下界。

Answer 3

在開始之前，讓我們首先說明little-o和Big-Theta表示法的含義：

小o表示法

形式上， g(n) = o(f(n)) （或g(n) ∈ o(f(n)) ）對於足夠大的n成立，意味着對於每個正常數ε都有一個常數N使得

 |g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for all n > N (+) 

來自https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Little-o_notation 。

大Θ符號

h(n) = Θ(f(n))表示存在正常數k_1 ， k_2和N ，因此k_1 · |f(n)| 和k_2 · |f(n)| 是|h(n)|的上限和下限 分別對於n > N ，即

 k_1 · |f(n)| ≤ |h(n)| ≤ k_2 · |f(n)|, for all n > N (++) 

來自https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms/asymptotic-notation/a/big-big-theta-notation 。

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給定： g(n) ∈ o(f(n))

因此，在我們的情況下，對於每個ε>0 ，對於函數g(n)和f(n) ，我們可以找到一些常數N使得(+) f(n) 。 因此，對於n>N ，我們有

|g(n)| ≤ ε*|f(n)|, for some ε>0, for all n>N

Choose a constant ε < 1 (recall, the above holds for all ε > 0), 
with accompanied constant N. 
Then the following holds for all n>N

    ε(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 2|f(n)| ≤ 2(|g(n)| + |f(n)|) ≤ 4*|f(n)|    (*)

去除(*)最左邊的不等式並除以2，我們得到：

|f(n)| ≤ |g(n)| + |f(n)| ≤ 2*|f(n)|, n>N                            (**) 

我們看到，這是定義非常清晰的Big-Θ符號，如(++) ，常數k_1 = 1 ， k_2 = 2且h(n) = g(n)+f(n) 。 因此

(**) => g(n) + f(n) is in Θ(f(n))

Ans我們已經證明g(n) ∈ o(f(n))意味着(g(n) + f(n)) ∈ Θ(f(n)) 。