是否有可能證明f（n）+ g（n）= theta（n ^ 2）for f（n）= theta（n ^ 2）＆g（n）= O（n ^ 2）

Question

有沒有辦法證明

f(n) + g(n) = theta(n^2)

還是不可能？ 假設f(n) = theta(n^2) & g(n) = O(n^2)

我嘗試了以下操作：f（n）= O（n ^ 2）＆g（n）= O（n ^ 2）。 我證明了

0 <= f(n) <= c1*n^2 
0 <= f(n) <= c2*n^2
for c1 > 1 & c2 > 1

Answer 1

是的，您可以證明這一點。

• f(n)在Theta(n^2) ，因此存在常數c1,c2,N ，因此對於所有n>N1 f（n）有界： c1*n^2 <= f(n) <= c2*n^2 （按定義）
• g(n)在O(n^2) ，因此存在常數c3,N2使得對於所有n>N2 ，g（n）有界： g(n) <= c3*n^2 （根據定義）

現在，看看n>max{N1,N2} f(n)+g(n) ：

f(n) + g(n) <= c2*n^2 + c3*n^2 = (c2+c3)*n^2

同樣，假設f(n)是非負的， c1*n^2 <= f(n) <= f(n) + g(n) ，又是n>max{N1,N2}>=N1 。

我們得到對於N=max{N1,N2} ，存在常數c=c1, c'=(c2+c3) ，使得對於所有n> N

c*n^2 <= f(n) + g(n) <= c'*n^2

根據大Theta的定義，這意味着f(n)+g(n)在Theta(n^2)

Answer 2

是的，可以證明還是反對

Premise: f(n) = theta(n^2), and g(n) = O(n^2)

足以

Conclusion: f(n) + g(n) = theta(n^2)

如果您顯示出這樣的嘗試，我們將很樂意幫助您分析您的嘗試。