"證明 f(n) = Θ(g(n)) 當且僅當 g(n) = Θ(f(n))"

Question

我遇到了問題：

f(n) are asymptotically positive functions. Prove f(n) = Θ(g(n)) iff g(n) = Θ(f(n)). 

我發現的一切都表明該聲明無效。 例如，我遇到的一個答案是：

f(n) = O(g(n)) implies g(n) = O(f(n))
f(n) = O(g(n)) means g(n) grows faster than f(n). It cannot imply that f(n) grows
faster than g(n). Hence not true.

另一種說法是：

 If f(n) = O(g(n)) then O(f(n)). This is false. If f(n) = 1 and g(n) = n 
 for all natural numbers n, then f(n) <= g(n) for all natural numbers n, so
 f(n) = O(g(n)). However, suppose g(n) = O(f(n)). Then there are natural
 numbers n0 and a constant c > 0 such that n=g(n) <= cf(n) = c for all n >= 
 n0 which is impossible.

我知道我的確切問題與我找到的示例之間存在細微差別，但我只能提出無法證明這一點的解決方案。 我認為它無法被證明是正確的，還是我正在查看一些細節？

Answer 1

你可以從這里開始：

正式定義：f(n) = Θ (g(n)) 表示存在正常數 c1、c2 和 k，使得 0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n) 對於所有 n ≥ k .

因為你有那個iff ，你需要從左邊開始證明右邊，然后從右邊開始證明左邊。

左 -> 右

我們認為：

f(n) = Θ(g(n))

我們想證明

g(n) = Θ(f(n))

因此，我們有一些正常數c1 、 c2和k使得：

0 ≤ c1*g(n) ≤ f(n) ≤ c2*g(n), for all n ≥ k

f和g之間的第一個關系是：

c1*g(n) ≤ f(n)     =>     g(n) ≤ 1/c1*f(n)    (1)

f和g之間的第二個關系是：

f(n) ≤ c2*g(n)     =>     1/c2*f(n) ≤ g(n)    (2)

如果我們結合(1)和(2) ，我們得到：

1/c2*f(n) ≤ g(n) ≤ 1/c1*f(n)

如果您考慮c3 = 1/c2和c4 = 1/c1 ，它們存在並且是正的（因為分母是正的）。 這對於所有n ≥ k都是正確的（其中k可以相同）。

所以，我們有一些正常數c3 ， c4 ， k使得：

c3*f(n) ≤ g(n) ≤ c4*f(n), for all n ≥ k

這意味着g(n) = Θ(f(n)) 。

類似於右-> 左。