證明復雜性證明的順序如果 f(n) 是 Ω(n∗g(n))，那么 f(n) 不是 O(g(n))

Question

證明如果 f(n) 是 Ω(n∗g(n))，那么 f(n) 不是 O(g(n))

假設 f(n) 是 Ω(n ∗ g(n)) 並且 f(n) 是 O(g(n))。 需要表現出矛盾。 該方法是找到違反定義的 n 值。 證明：f(n) 是 Ω(n ∗ g(n)) 意味着存在正值 C 和 k，使得 n > k 意味着 f(n) ≥ C ∗ n ∗ g(n)。 f(n) 是 O(g(n)) 意味着存在正值 C' 和 k' 使得 n > k' 意味着 f(n) ≤ C ∗ g(n)。

那么 n 的什么值違反了定義，我該如何表現出矛盾呢？

Answer 1

您通過矛盾證明該陳述的方法是可能的。 但首先，你需要更精確一點：

1. f和g是整數上的正非遞減函數
2. C和C' >= 0
3. 你的最后一個含義應該是C' * g(n) （而不是C * g(n) ）。

所以我們開始：

(a) 存在正整數C , C' , k , k'使得對於所有n > k和n' > k' ：

C * n * g(n) <= f(n) and f(n') <= C' g(n')

通過將您的兩個含義鏈接在一起並將兩個全稱量詞合並為一個（注意for all n > k and n' > k'意味着for all n > max(k,k') ），您立即得到：

(b) 存在正整數C , C' , k , k'使得對於所有n > max(k,k') ：

C * n * g(n) <= C' g(n)

在兩邊除以g(n) ，這對上面的假設 1 有效，產生等價物：

(c) 存在正整數C , C' , k , k'使得對於所有n > max(k,k') ：

C * n <= C'

這相當於：

(d) 存在正整數C , C' , k , k'使得對於所有n > max(k,k') ：

n <= C'/C

最后一條語句等價於 false。 這是一個矛盾，因此最初的陳述是正確的。