证明复杂性证明的顺序如果 f(n) 是 Ω(n∗g(n))，那么 f(n) 不是 O(g(n))

Question

证明如果 f(n) 是 Ω(n∗g(n))，那么 f(n) 不是 O(g(n))

假设 f(n) 是 Ω(n ∗ g(n)) 并且 f(n) 是 O(g(n))。 需要表现出矛盾。 该方法是找到违反定义的 n 值。 证明：f(n) 是 Ω(n ∗ g(n)) 意味着存在正值 C 和 k，使得 n > k 意味着 f(n) ≥ C ∗ n ∗ g(n)。 f(n) 是 O(g(n)) 意味着存在正值 C' 和 k' 使得 n > k' 意味着 f(n) ≤ C ∗ g(n)。

那么 n 的什么值违反了定义，我该如何表现出矛盾呢？

Answer 1

您通过矛盾证明该陈述的方法是可能的。 但首先，你需要更精确一点：

1. f和g是整数上的正非递减函数
2. C和C' >= 0
3. 你的最后一个含义应该是C' * g(n) （而不是C * g(n) ）。

所以我们开始：

(a) 存在正整数C , C' , k , k'使得对于所有n > k和n' > k' ：

C * n * g(n) <= f(n) and f(n') <= C' g(n')

通过将您的两个含义链接在一起并将两个全称量词合并为一个（注意for all n > k and n' > k'意味着for all n > max(k,k') ），您立即得到：

(b) 存在正整数C , C' , k , k'使得对于所有n > max(k,k') ：

C * n * g(n) <= C' g(n)

在两边除以g(n) ，这对上面的假设 1 有效，产生等价物：

(c) 存在正整数C , C' , k , k'使得对于所有n > max(k,k') ：

C * n <= C'

这相当于：

(d) 存在正整数C , C' , k , k'使得对于所有n > max(k,k') ：

n <= C'/C

最后一条语句等价于 false。 这是一个矛盾，因此最初的陈述是正确的。