什么是順序符號f（n）= O（g（n））？

Question

問題1：在什么情況下O(f(n)) = O(kf(n))是時間復雜度分析的最合適形式？

問題2：從O符號的數學定義出發，如何證明對於正常數k為O(f(n)) = O(kf(n)) ？

對於第一個問題，我認為這是時間復雜度的平均情況和最壞情況的形式。 我對嗎？ 那我還要寫些什么呢？

對於第二個問題，我認為我們需要在數學上定義函數。 答案是否像是因為常數乘以對應於O定義中任意常數k的值的重新調整？

Answer 1

我的觀點：對於第一個，我認為這是時間復雜度的平均情況和最壞情況的形式。 我對嗎？ 我還要寫些什么？

沒有！ 大O符號與一般情況或最壞情況無關。 它僅與一個功能的增長順序有關，尤其是一個功能相對於另一個功能增長的速度。 函數f在一般情況下可以是O(n) ，在最壞情況下可以是O(n) O(n^2) -這僅表示函數根據其輸入而表現不同，因此必須分別考慮這兩種情況。

關於問題2，從問題的措辭來看，我很明顯需要從Big O的數學定義開始。為了完整性，它是：

形式定義：f（n）= O（g（n））表示存在正常數c和k，使得對於所有n≥k，0≤f（n）≤cg（n）。 c和k的值必須對於函數f是固定的，並且不得依賴於n。

（來源http://www.itl.nist.gov/div897/sqg/dads/HTML/bigOnotation.html ）

因此，您需要根據此定義進行工作，並編寫數學證明以證明f(n) = O(k(n)) 。 在上述定義中，先用O(k*f(n))替換O(g(n)) ； 其余的應該很容易。

Answer 2

問題1有點含糊，但您肯定沒有答案2。 問題是“從O符號的數學定義開始”。 這意味着您的講師希望您使用數學定義：

當且僅當極限[x-> a +] | f（x）/ g（x）|時，f（x）= O（g（x）） <無限，對於一些

他希望您插入g（x）= kf（x）並證明不等式成立。

您發布的一般性論點可能會讓您部分功勞，但這是推理而不是數學，問題是要求數學。