如果 f(n) = O(n) 且 g(n) = O(n)，證明 f(g(n)) = O(n)

Question

我似乎無法弄清楚如何解決這個問題。 大O讓我很困惑。 誰能幫我弄清楚？ f(n) = O(n)和g(n) = O(n) 。 我如何證明f(g(n)) = O(n) ？

Answer 1

使用O定義：

f(n) = O(n) => f(n) < c1*n for n > n0 and c1 is constant.
g(n) = O(n) => g(n) < c2*n for n > n1 and c2 is constant.

因此，我們有：

f(g(n)) < c1 * g(n) < c1 * c2 * n for n > max(n0, n1) => 
f(g(n)) < c3 * n for n > max(n0, n1) and c3 is constant.

后者是O的定義，表示f(g(n)) = O(n) 。