如果 f(n) = O(g(n))，log(f(n)) = O(log(g(n))？

Question

我今天才知道這種關系不成立，因為 log 改變了函數的行為。 但這是真的嗎？ 一個例子會很好。

而且如果 f(n) = ϴ(g(n))，log(f(n)) = ϴ(log(g(n)) 會成立嗎？

任何幫助表示贊賞。 提前致謝。

Answer 1

現在評論已經表明這個問題是關於漸近極限而不是算法復雜性.....

您可以使用 L'Hôpital 規則（信息在微分的任何基本文本中）以及ln(x) （自然對數）的導數為1/x的事實來表明f(n)/g(n)的漸近極限f(n)/g(n)等於log(f(n))/log(g(n))的漸近極限。

請注意，這與算法復雜性幾乎沒有關系。

Answer 2

之前的答案不正確。 例如，

設f(n)=a和g(n)=1 ，其中a是對數的底數。 然后f(n)在O(g(n)) 。 事實上， f(n)<=cg(n)對於所有n>0 ，其中c=a 。 但是， log(f(n))=1和log(g(n))=0 。 現在1不在O(0) 。 實際上，不存在常數C和N使得1=log(f(n))<=Clog(g(n))=0對於所有n>N 。

但是，假設log(g(n))>0 。 由於f(n)在O(g(n))我們有常數A和N使得f(n)<=Ag(n)對於所有n>=N 。 現在將log應用於雙方，注意這個函數是單調的，以獲得log(f(n))<=log(Ag(n))=log(A)+log(g(n)) 。 由於log(g(n))>0存在B使得log((g(n))^B)=Blog(g(n))>=log(A) 。 因此， log(f(n))<=log(A)+log(g(n))<=Blog(g(n))+log(g(n))=(B+1)(g(n))對於所有n>= N 。 因此， f(n)在O(g(n)) 。