證明 n=o(2^{f(n)})？

Question

請注意：在這個問題中，日志 (n) 是以 2 為底的。

我知道f(n)=omega(log(n)) - 換句話說，對於每個c>0: f(n)>=c*log(n) （從特定位置開始）

我想證明n=o(2^{f(n)}) - 換句話說，對於每個d>0: n<=d*2^{f(n)} （從特定位置開始）

我如何證明這一點？

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我做了什么？

我嘗試使用您可以在這里找到的限制： https : //math.stackexchange.com/questions/3895906/prove-that-the-following-limit-is-0

但這似乎是不可能的，所以我試圖以傳統方式解決它，但被卡住了。

Answer 1

根據c = 2的前提，存在N0 > 0使得f(n) >= 2 log(n)對於所有n > N0 。 通過y = 2^x單調性，這相當於2^f(n) >= n^2對於所有n > N0 。

對於任何d > 0有一個N1 > 0使得n^2 >= n/d對於所有n > N1因為二次n^2比任何線性n/d增長得更快。

結合這兩個不等式， n/d <= n^2 <= 2^f(n)對於所有n > max(N0, N1) 。