Agda - 以交互方式构建证明 - 如何使用孔语法？

Question

对不起，奇怪的标题，我不知道这些概念实际上是如何命名的。

我正在关注Agda教程，其中有一节解释了如何以归纳方式构建证明：https://plfa.github.io/Induction/#building-proofs-interactively

您可以逐步扩展您的证明并让孔（此{ }0 ）更新其内容以告诉您发生了什么，这非常酷。 但是，仅说明了在使用rewrite语法时如何执行此操作。

当我想“手动”在begin块中进行证明时，这是如何工作的，例如：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc zero n p =
  begin
    (zero + n) + p
    ≡⟨⟩ n + p
    ≡⟨⟩ zero + (n + p)
  ∎
+-assoc (suc m) n p =
  begin
    (suc m + n) + p
    ≡⟨⟩ suc (m + n) + p
    ≡⟨⟩ suc ((m + n) + p)
    ≡⟨ cong suc (+-assoc m n p) ⟩
      suc (m + (n + p))
    ≡⟨⟩ suc m + (n + p)
  ∎

问题如下。 让我们从命题和证据开始：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc m n p = ?

这评估为：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc m n p = { }0

在这种情况下，我想通过归纳来证明，所以我使用Cc Cc使用变量m拆分这些：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc zero n p = { }0
+-assoc (suc m) n p = { }1

基本情况是微不足道的，在使用Cc Cr解决后被refl替换。 但是，感应案例（孔 1）需要一些工作。 我怎样才能把这个{ }1洞变成下面的结构来做证明：

begin
  -- my proof
  ∎

我的编辑器（spacemacs）说{ }1是只读的。 我不能删除它，只能在大括号之间插入东西。 我可以强制删除它，但这显然不是故意的。

你应该怎么做才能把洞扩大成一个begin块？ 像这样的东西

{ begin }1

不起作用并导致错误消息

谢谢！

编辑：

好的，所以以下似乎有效：

{ begin ? }1

这变成了这样：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc zero n p = refl
+-assoc (suc m) n p = begin { }0

这是一个进步：D。 但现在我不知道在哪里放置证明的实际步骤：

...
+-assoc (suc m) n p = begin (suc m + n) + p { }0
-- or
+-assoc (suc m) n p = begin { (suc m + n) + p }0

似乎都没有工作

Answer 1

{ }1是只读的

此消息在两种情况下显示：

• 你试图用退格键删除一个洞，这是行不通的。 但是，如果孔为空，您可以使用 C-backspace
• 您正在尝试在插入/覆盖模式下编辑一个空洞，这也不起作用

一条经验法则是，您始终使用Cc C-SPC用等于目标类型的表达式来细化一个洞。 在您的情况下，这意味着从begin? ，然后给出(suc m + n) + p ≡⟨⟩? 等等。

有两种方法可以细化孔：

• Cc Cr ：当给定 function 时为您创建新孔。 例如，使用此设置：

   test: Bool test = {!!}

  如果你not洞里打字

  test: Bool test = {!not!}

  并精炼，你会得到

  test: Bool test = not {!!}

  即为参数自动创建新孔。

  通过这种方式或改进一个洞，Agda 也会按照它喜欢的方式重新格式化你的代码，我不喜欢这种方式，所以我通常不使用它。

• Cc C-SPC ：不会为 arguments 创建新的孔，也不会重新格式化您的代码