Agda - 以交互方式構建證明 - 如何使用孔語法？

Question

對不起，奇怪的標題，我不知道這些概念實際上是如何命名的。

我正在關注Agda教程，其中有一節解釋了如何以歸納方式構建證明：https://plfa.github.io/Induction/#building-proofs-interactively

您可以逐步擴展您的證明並讓孔（此{ }0 ）更新其內容以告訴您發生了什么，這非常酷。 但是，僅說明了在使用rewrite語法時如何執行此操作。

當我想“手動”在begin塊中進行證明時，這是如何工作的，例如：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc zero n p =
  begin
    (zero + n) + p
    ≡⟨⟩ n + p
    ≡⟨⟩ zero + (n + p)
  ∎
+-assoc (suc m) n p =
  begin
    (suc m + n) + p
    ≡⟨⟩ suc (m + n) + p
    ≡⟨⟩ suc ((m + n) + p)
    ≡⟨ cong suc (+-assoc m n p) ⟩
      suc (m + (n + p))
    ≡⟨⟩ suc m + (n + p)
  ∎

問題如下。 讓我們從命題和證據開始：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc m n p = ?

這評估為：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc m n p = { }0

在這種情況下，我想通過歸納來證明，所以我使用Cc Cc使用變量m拆分這些：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc zero n p = { }0
+-assoc (suc m) n p = { }1

基本情況是微不足道的，在使用Cc Cr解決后被refl替換。 但是，感應案例（孔 1）需要一些工作。 我怎樣才能把這個{ }1洞變成下面的結構來做證明：

begin
  -- my proof
  ∎

我的編輯器（spacemacs）說{ }1是只讀的。 我不能刪除它，只能在大括號之間插入東西。 我可以強制刪除它，但這顯然不是故意的。

你應該怎么做才能把洞擴大成一個begin塊？ 像這樣的東西

{ begin }1

不起作用並導致錯誤消息

謝謝！

編輯：

好的，所以以下似乎有效：

{ begin ? }1

這變成了這樣：

+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc zero n p = refl
+-assoc (suc m) n p = begin { }0

這是一個進步：D。 但現在我不知道在哪里放置證明的實際步驟：

...
+-assoc (suc m) n p = begin (suc m + n) + p { }0
-- or
+-assoc (suc m) n p = begin { (suc m + n) + p }0

似乎都沒有工作

Answer 1

{ }1是只讀的

此消息在兩種情況下顯示：

• 你試圖用退格鍵刪除一個洞，這是行不通的。 但是，如果孔為空，您可以使用 C-backspace
• 您正在嘗試在插入/覆蓋模式下編輯一個空洞，這也不起作用

一條經驗法則是，您始終使用Cc C-SPC用等於目標類型的表達式來細化一個洞。 在您的情況下，這意味着從begin? ，然后給出(suc m + n) + p ≡⟨⟩? 等等。

有兩種方法可以細化孔：

• Cc Cr ：當給定 function 時為您創建新孔。 例如，使用此設置：

   test: Bool test = {!!}

  如果你not洞里打字

  test: Bool test = {!not!}

  並精煉，你會得到

  test: Bool test = not {!!}

  即為參數自動創建新孔。

  通過這種方式或改進一個洞，Agda 也會按照它喜歡的方式重新格式化你的代碼，我不喜歡這種方式，所以我通常不使用它。

• Cc C-SPC ：不會為 arguments 創建新的孔，也不會重新格式化您的代碼