Agda，證明類型和條款

Question

在AgdaIntro中，視圖部分解釋：

..that 與不記得有長期和圖案之間的連接。

這意味着當你定義

data   False : Set where
record True  : Set where

isTrue : Bool -> Set
isTrue true  = True
isTrue false = False

infixr 30 _:all:_
data All {A : Set}(P : A -> Set) : List A -> Set where
  all[]   : All P []
  _:all:_ : forall {x xs} -> P x -> All P xs -> All P (x :: xs) 

satisfies : {A : Set} -> (A -> Bool) -> A -> Set
satisfies p x = isTrue (p x)

data Find {A : Set}(p : A -> Bool) : List A -> Set where
  found : (xs : List A)(y : A) -> satisfies p y -> (ys : List A) -> 
           Find p (xs ++ y :: ys)
  not-found : forall {xs} -> All (satisfies (not � p)) xs -> 
              Find p xs

你要證明

find1 :{A:Set}(p:A->Bool)(xs:ListA)->Find p xs 
find1 p [] = not-found all []
find1 p(x::xs) with p x
...| true  = found [] x {!!} xs
...| false = {!!}

洞的類型（{！！}）是isTrue（px），即使我們已經在px上匹配並發現它是真的。

編譯器不知道我們在px上進行了模式匹配，並要求我們提供px為真的證據！

這促使了一種新型的引入

..類型A的元素類型以及它們等於A中給定的x的證明。

data Inspect {A : Set}(x : A) : Set where
  it : (y : A) -> x == y -> Inspect x

inspect : {A : Set}(x : A) -> Inspect x
inspect x = it x refl

使用此類型，可以編寫函數find：

trueIsTrue : {x : Bool} -> x == true -> isTrue x
trueIsTrue refl = _

falseIsFalse : {x : Bool} -> x == false -> isFalse x
falseIsFalse refl = _

find : {A : Set}(p : A -> Bool)(xs : List A) -> Find p xs
find p [] = not-found all[]
find p (x :: xs) with inspect (p x)
... | it true prf = found [] x (trueIsTrue prf) xs
... | it false prf with find p xs
find p (x :: ._) | it false _   | found xs y py ys =
  found (x :: xs) y py ys
find p (x :: xs) | it false prf | not-found npxs =
  not-found (falseIsFalse prf :all: npxs)

---

現在，如果我想證明以下屬性：

predicate : ∀ {A : Set} {p : A -> Bool } {xs : List A } -> 
            All (satisfies' p) (filter p xs)

我有同樣的問題與發現，所以我需要檢查得到見證模式匹配，但我也需要有編譯器的情況下，在過濾器上的進展px == true ！

如果我進行一些並行模式匹配，編譯器會將它們視為獨立表達式

predicate {A} {p} {xs = []} = all[]
predicate {A} {p} {xs = x :: xs} with p x
predicate {A} {p} {x :: xs} | px with  inspect (p x) 
predicate {A} {p} {x :: xs} | true | it true pf = {!!}
predicate {A} {p} {x :: xs} | true | it false pf = {!!} 
predicate {A} {p} {x :: xs} | false | it true pf = {!!}
predicate {A} {p} {x :: xs} | false | it false pf = {!!}

如何告訴編譯器兩個分支以某種方式鏈接？ 我應該加一個證明嗎？

Answer 1

只是不要在px上進行模式匹配：

predicate {A} {p} {xs = []} = all[]
predicate {A} {p} {x :: xs} with inspect (p x) 
predicate {A} {p} {x :: xs} | it true  pf rewrite pf = {!!}
predicate {A} {p} {x :: xs} | it false pf rewrite pf = {!!}

---

請注意，不推薦使用inspect習慣用法。 使用類固醇檢查 。 您可以在此處的標准庫中找到它。

你的代碼變成了

predicate : ∀ {A : Set} {p : A -> Bool } {xs : List A } -> 
            All (satisfies p) (filter p xs)  
predicate {A} {p} {xs = []} = all[]
predicate {A} {p} {xs = x :: xs} with p x | inspect p x
predicate {A} {p} {x :: xs} | true  | [ pf ] = {!!}
predicate {A} {p} {x :: xs} | false | [ pf ] = {!!}

pf在第一洞

.Data.Unit.Core.reveal (.Data.Unit.Core.hide p x) == true

哪個beta減少到px == true 。 即如果你有的話

test : ∀ {A : Set} {p : A -> Bool} {x} -> p x == true -> True
test _ = _ 

然后在第一個洞中放置test {p = p} pf並輸入Cc Cd給你True 。