Agda類型錯誤

Question

我是Agda的新手，我嘗試定義以下類型的常量prod ： Z → (Z → ((Z → Set) → Set))

現在，我編寫了以下Agda代碼：

data Prod (X : Set) : ℕ → X where 
prod : ℕ → (ℕ → ((ℕ → X) → X))

當我進行類型檢查時，agda會產生以下錯誤消息：

X != Set (_33 X_) of type Set 
when checking the definition of Prod 

任何幫助都受到高度贊賞

Answer 1

您的數據類型定義有兩個問題。 首先，所有數據類型都在Set （一定級別），您不能隨便聲明數據類型為其他類型的元素。

data T : ℕ where

該定義試圖假定自然數中還有另一個元素，即T 那沒有多大意義。 可以添加更多元素的唯一可能的“類型”是Set所有（小型）類型的類型。 （我掩蓋了Set的層次結構是無限的這一事實，您現在不需要處理它了）。

所以這沒關系：

data T : Set where

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定義的第二個問題是prod構造函數的類型不能反映它確實構造了Prod類型的東西。 構造函數的要點是它們可以是您正在定義的類型的元素。

讓我們看一下自然數的定義：

data ℕ : Set where
  zero : ℕ
  suc  : ℕ → ℕ

當我們寫zero : ℕ ，我們說zero是自然數。 如果我們改用這個怎么辦：

data ℕ : Set where
  zero : String
  suc  : ℕ → ℕ

我們正在定義自然數，並且將zero定義為String ？ 因此，由於我們正在定義構造函數，因此我們給它的類型必須提及我們在最后位置定義的類型。 （此提及也可以是間接的）。

Op₂ : Set → Set
Op₂ A = A → A → A

data Tree (A : Set) : Set where
  nil  :          Tree A
  node : A → Op₂ (Tree A)

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您可以在冒號左側添加參數 ，而不能在構造函數中更改這些參數。 因此，例如，這是無效的：

data T (A : Set) : Set where
  t : T ℕ

注意，僅T是不夠的-它不是類型，而是諸如從類型到類型的函數之類的東西（即Set → Set ）。 這是可以的：

data T (A : Set) : Set where
  t : T A

冒號的右邊是索引 。 這些類似於參數，只是您可以在構造函數中選擇值。 例如，如果我們有一個按自然數索引的數據類型，例如：

data T : ℕ → Set where

您可以使用類似以下的構造函數：

data T : ℕ → Set where
  t₀ : T zero
  t₁ : T (suc zero)

就像上面一樣， T本身不是一種類型。 在這種情況下，這是ℕ → Set的功能。

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無論如何，回到您的代碼。 如果您要表示Prod包含一個類型為ℕ → (ℕ → ((ℕ → X) → X))函數，則它應為：

data Prod (X : Set) : ℕ → Set where
  prod : (ℕ → (ℕ → ((ℕ → X) → X))) → Prod X zero

但是，我不知道您對索引的意圖是什么。