这个 Isabelle 证明中是否需要归纳？

Question

我试图证明生成器函数会产生某些仍然非常简单的模式。 pattern_0_1生成交替 0 和 1 的列表。 我已经成功证明任何长度大于 0 的列表的第一项为零。但是，应用相同的技术未能证明第二个元素始终为 1。我的猜测是这里根本不需要归纳。 对于完成第二个引理的正确方法，我将不胜感激。

fun pattern_0_1 :: "nat ⇒ nat ⇒ nat list" where
"pattern_0_1 0 item  = []" |
"pattern_0_1 len item =  item # (pattern_0_1 (len - 1) (if item = 0 then 1 else 0))"

lemma item_0_is_0 : "lng ≥ 1 ⟹ pattern_0_1 lng 0 ! 0 = 0"
  apply(induction lng)
  apply(simp)
  by auto

lemma item_1_is_1 : "lng ≥ 2 ⟹ pattern_0_1 lng 0 ! 1 = 1"
  apply(induction lng)
  apply(simp)
  sorry

Answer 1

不需要归纳（它会是，你会展示一些关于所有偶数或所有奇数位置的东西）。 在这里，案例分析就足够了，因此您可以得到案例 0、1 和 >= 2。因此，您的证明可以通过

apply(cases lng; cases "lng - 1"; auto)

其中第一种cases将是 0 或 >= 1，而第二种cases将区分 1 和 >= 2。