就 Big O 而言，该解决方案的运行时间复杂度和空间复杂度是多少？

Question

我相信空间复杂度只是 O(n)，因为该集合是整个程序中唯一存储的集合，并且每次都会重新计算列表。 我不确定时间复杂度是否为 O(n^2)，因为有一个 while 循环并且内部有一个 for 循环，或者它是否有所不同，因为如果 n 永远不会是 1 或在集合中。

def isHappy(self,n):
        seen = set()
        while True:
            if n not in seen:
                seen.add(n)
                n = sum([int(x) * int(x) for x in str(n)])
                if n == 1:
                    return True
            else:
                return False

Answer 1

编辑：

先前关于平均时间复杂度的陈述是不正确的，因为它没有考虑n十进制数字平方和的复杂性。

由于缺乏数学格式，请提前原谅我。 在 StackOverflow 帖子中没有简单的方法可以做到这一点。

简短的回答是您的解决方案不会进入无限循环，它确实具有O(n)空间复杂度和O(n**2)时间复杂度。

这是长答案：

让f(n)表示对n的十进制数字的平方求和的结果，就像在while循环中所做的那样。 如果n有四位或更多位，则保证f(n)的位数少于n ，如

f(9999) == 4 * 9**2 == 324

，并且10**k - 1和f(10**k - 1)之间的差异随着k的增加而增加。 因此，对于具有四位或更多位的n ，最多需要log10(n)次循环迭代才能得到一个三位数的数字。 并作为

f(999) == 3 * 9**2 == 243

，无论您将n = f(n)应用于三位或更少位数的n多少次，结果也将包含三位或更少位数。 只有 1000 个非负整数具有三个或更少的数字，因此根据鸽洞原理，在最多 1001 次迭代后， f(n)要么等于 1，要么已经包含在集合中。 总的来说，这不大于循环的log10(n) + 1001次迭代，在这种情况下， n指的是 function 参数的原始值。

对于set s ，在最坏的情况下，插入和成员资格测试都是O(len(s)) 。 由于集合只能包含与过去迭代一样多的元素，

len(s) <= log10(n) + 1001.

并且log10(n) + 1001是O(n) （但不是O(log(n)) ，因为复杂性是根据输入的大小（位数），而不是输入本身）。 并且由于在给定的迭代过程中， n的位数要么少于其原始位数，要么少于四位数，因此位数的平方和也是O(n) 。 总的来说，这是O(n)次迭代，每次O(n) ，最坏情况的总时间复杂度为O(n**2) 。

如上所述，无论n有多大，都可以保证最终达到三位数，因此您实际上可以将集合替换为 1000 个布尔值的列表。 然后解决方案将具有O(1)空间复杂度。

Answer 2

最好的情况是O(1)假设如果程序在第一次尝试中得到答案，最坏的情况可能是O(n^2) ，因为循环一次又一次地迭代自己，但是如果你想要一个比您可以考虑添加一个新常量，它将代表以下循环

sum([int(x) * int(x) for x in str(n)])

让我们用常数r表示这个循环，那么最坏情况的复杂度将变为O(n^2 + r)