如何使用 nls() 在指数衰减 model 中拟合多个常数？

Question

我正在处理这种关系：

y = h * R + x * v * h

在哪里：

x = (N - M) * exp(-Q * u) + M

这给出了主要方程：

y = h * R + v * h * (N - M) * exp(-Q * u) + v * h * M

所有大写字母都是常量，所有小写字母都是变量。

我有所有变量的真实数据，但我要么不知道常量（R 和 Q）的值，要么想检查数据拟合常量（N 和 M）值的能力。 我想使用 nls() 使用变量数据来拟合方程，以估计这些常数参数。

如何使用 nls() function 编写代码来描述主要方程，以允许从模拟测量数据中估计参数 R、N、Q 和 M？ （模拟测量数据 = 带 _j 后缀的小写字母，见下文。）

创建模拟数据：

library(dplyr)
library(ggplot2)

### Generate mock data

# Equations:
# y = h*R + x*v*h
# x = (N-M)*exp(-Q*u) + M
# y = h*R + ((N-M)*exp(-Q*u) + M)*v*h
# y = h*R + v*h*(N-M)*exp(-Q*u) + v*h*M

### Variables have varying periodicity,
# and so can be approximated via different functions,
# with unique noise added to each to simulate variability:

# Variability for each variable
n <- 1000 # number of data points
t <- seq(0,4*pi,length.out = 1000)
a <- 3
b <- 2

y.norm <- rnorm(n)
u.norm <- rnorm(n)
u.unif <- runif(n)
v.norm <- rnorm(n)
v.unif <- runif(n)
amp <- 1

# Create reasonable values of mock variable data for all variables except h;
# I will calculate from known fixed values for R, N, Q, and M.

y <- 1.5*a*sin(b*t)+y.norm*amp-10 # Gaussian/normal error
u <- ((1*a*sin(11*b*t)+u.norm*amp)+(0.5*a*sin(13*b*t)+u.unif*amp)+7)/2
v <- 1/((2*a*sin(11*b*t)+v.norm*amp)+(1*a*sin(13*b*t)+v.unif*amp)+20)*800-25

# Put vectors in dataframe
dat <- data.frame("t" = t, "y" = y, "u" = u, "v" = v)

### Create reasonable values for constants:

R=0.5
N=1.12
Q=0.8
M=1

### Define final variable based on these constants and the previous
# mock variable data:

dat$h = y/(R + v*(N-M)*exp(-Q*dat$u))

### Gather data to plot relationships:

dat_gathered <- dat %>%
  gather(-t, value = "value", key = "key")

### Plot data to check all mock variables:

ggplot(dat_gathered, aes(x = t, y = value, color = key)) + geom_line()

# Add small error (to simulate measurement error):

dat <- dat %>%
  mutate(h_j = h + rnorm(h, sd=0.05)/(1/h)) %>%
  mutate(u_j = u + rnorm(u, sd=0.05)/(1/u)) %>%
  mutate(v_j = v + rnorm(v, sd=0.05)/(1/v)) %>%
  mutate(y_j = y + rnorm(y, sd=0.05)/(1/y))

Answer 1

nls似乎工作正常，但看起来解决方案（就参数而言）不是唯一的......或者我在某处犯了错误。

## parameter values chosen haphazardly
n1 <- nls(y ~ h_j*(R + v_j*((N-M)*exp(-Q*u_j)+M)),
    start=list(R=1,N=2,M=1,Q=1),
    data=dat)

## starting from known true values
true_vals <- c(R=0.5,N=1.12,Q=0.8,M=1)
n2 <- update(n1, start=as.list(true_vals))

round(cbind(coef(n1),coef(n2),true_vals),3)
              true_vals
R 0.495 0.495      0.50
N 0.120 0.120      1.12
M 0.001 0.818      0.80
Q 0.818 0.001      1.00

在两个拟合上使用AIC()表明它们具有基本相同的拟合优度（并且预测几乎相同），这表明 model 中存在一些对称性，允许M和Q互换。 我还没有认真考虑/仔细研究过这个等式，以了解为什么会这样。