图灵机和可判定性

Question

已知存在可判定问题、半可判定问题和不可判定问题。 TM（图灵机）接受的语言是 r.e。 set（递归可枚举），在某些情况下，也是一个递归集。 一个例子是 r.e。 （但不是递归的）是接受某个（固定）字符串“x”的 TM 集。 解释是这样的：“这个问题是半可判定的（即集合是 r.e.），因为如果某个 TM_i（i 是它在哥德尔枚举中的索引）属于该集合，那么它可以通过算法(procedure, TM, ecc.) 列出所有接受“x”的 TM，并继续这样做，在某一点上我将能够找到 TM_i。 但是，如果 TM_i 不属于该集合，那么我无法得出任何结论：列出所有接受“x”的 TM 的算法将永远持续下去。”

现在我试着从不同的角度思考同样的问题。 假设我有一个随机图灵机 TM_j，我想确定它是否属于上述集合。 我可以将字符串“x”作为输入给 TM_j，如果它在“接受”state（最终状态）处停止，那么我知道 TM_j 接受“x”，因此是集合的一部分。 另一方面，如果 TM_j 不接受“x”，它可能会在某个不是最终的 state 处停止（因此我知道 TM_j 拒绝“x”），或者它可能会继续循环下去。 在第二种情况下，我不能通过观察两个相同的配置来列出 TM 在执行期间的所有配置并得出结论它永远循环（因此拒绝“x”）吗？ 如果“c1, c2, c3, c4, . . . , c21, c3, . . 。” 是 TM_j 的配置列表，我观察到 c3 是重复的，并且由于机器是确定性的，c3 后面会跟着 c4，c4 依次给出 c5，依此类推，直到 c21，然后又是 c3。 . . 因此，我可以得出结论，TM_j 循环，因此“x”不能被它接受，因为它永远不会到达最终（接受）state。 然而，这意味着给定一个通用的 TM，我可以确定它是否属于该集合，因此该集合是递归的而不是递归可枚举的！

有人可以帮助我了解我的错误在哪里吗？

Answer 1

错误是假设永久循环的 TM 将具有重复的配置（其磁带 + 其当前状态）。

您是正确的，如果确定性图灵机两次达到特定配置，它将永远循环。

考虑机器A ：

Write 0 to the output tape.
While the input tape is 'x':
  Increment the output tape in binary
Otherwise reject

这台机器永远不会在输入'x'时停止，但也永远不会重复配置（它的状态会重复，但它的磁带永远不会）。

而且，如果您认为仅凭状态就足以确定机器是否永远循环，请考虑B ：

Write 0 to the output tape.
While the input tape is 'x' and the output tape is less than some specific but arbitrarily large number k:
  Increment the output take in binary
If the input tape is 'x', accept
Otherwise reject

这台机器将重复其状态任意次数，最后停止并接受'x' 。