圖靈機和可判定性

Question

已知存在可判定問題、半可判定問題和不可判定問題。 TM（圖靈機）接受的語言是 r.e。 set（遞歸可枚舉），在某些情況下，也是一個遞歸集。 一個例子是 r.e。 （但不是遞歸的）是接受某個（固定）字符串“x”的 TM 集。 解釋是這樣的：“這個問題是半可判定的（即集合是 r.e.），因為如果某個 TM_i（i 是它在哥德爾枚舉中的索引）屬於該集合，那么它可以通過算法(procedure, TM, ecc.) 列出所有接受“x”的 TM，並繼續這樣做，在某一點上我將能夠找到 TM_i。 但是，如果 TM_i 不屬於該集合，那么我無法得出任何結論：列出所有接受“x”的 TM 的算法將永遠持續下去。”

現在我試着從不同的角度思考同樣的問題。 假設我有一個隨機圖靈機 TM_j，我想確定它是否屬於上述集合。 我可以將字符串“x”作為輸入給 TM_j，如果它在“接受”state（最終狀態）處停止，那么我知道 TM_j 接受“x”，因此是集合的一部分。 另一方面，如果 TM_j 不接受“x”，它可能會在某個不是最終的 state 處停止（因此我知道 TM_j 拒絕“x”），或者它可能會繼續循環下去。 在第二種情況下，我不能通過觀察兩個相同的配置來列出 TM 在執行期間的所有配置並得出結論它永遠循環（因此拒絕“x”）嗎？ 如果“c1, c2, c3, c4, . . . , c21, c3, . . 。” 是 TM_j 的配置列表，我觀察到 c3 是重復的，並且由於機器是確定性的，c3 后面會跟着 c4，c4 依次給出 c5，依此類推，直到 c21，然后又是 c3。 . . 因此，我可以得出結論，TM_j 循環，因此“x”不能被它接受，因為它永遠不會到達最終（接受）state。 然而，這意味着給定一個通用的 TM，我可以確定它是否屬於該集合，因此該集合是遞歸的而不是遞歸可枚舉的！

有人可以幫助我了解我的錯誤在哪里嗎？

Answer 1

錯誤是假設永久循環的 TM 將具有重復的配置（其磁帶 + 其當前狀態）。

您是正確的，如果確定性圖靈機兩次達到特定配置，它將永遠循環。

考慮機器A ：

Write 0 to the output tape.
While the input tape is 'x':
  Increment the output tape in binary
Otherwise reject

這台機器永遠不會在輸入'x'時停止，但也永遠不會重復配置（它的狀態會重復，但它的磁帶永遠不會）。

而且，如果您認為僅憑狀態就足以確定機器是否永遠循環，請考慮B ：

Write 0 to the output tape.
While the input tape is 'x' and the output tape is less than some specific but arbitrarily large number k:
  Increment the output take in binary
If the input tape is 'x', accept
Otherwise reject

這台機器將重復其狀態任意次數，最后停止並接受'x' 。