我可以使用返回加权布尔值的 function 实现加权随机性吗？

Question

我有一种模仿不公平硬币的方法。 您可以传入一个百分比，它会通过返回 boolean 来告诉您是否成功。 所以如果你用.25 调用它，它会在 25% 的时间内返回true 。

我试图弄清楚我是否可以使用这个 function 来创建一个加权随机性 function，它的工作原理如下： There is a 25% chance it returns x, a 40% chance it returns y, and a 35% chance it returns z. 这只是一个例子。 我希望 function 可以处理无限数量的字母，但加在一起的百分比应该等于 1。

诀窍是，我希望能够按照我刚才描述的方式来思考它。 换句话说：

result = function ({.25, x}, {.4, y}, {.35, z})

result应该是 x 25% 的时间，依此类推。 我可以用我的不公平币实现这个 function 吗？

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这是我在下面的评论中的措辞。它可能会澄清我的要求：

如果我在这里犯了错误，请纠正我的逻辑，但是假设 XY 和 Z 都有。3333...我不能用我的不公平硬币来传递。3333...如果返回 true，那就意味着你得到了结果是 X。 如果返回 false，再次调用我的不公平。5 如果返回 true，则返回 Y，否则返回 Z。如果正确，如果数字 AREN'T.3333 并且如果有，我不知道如何使它工作三个以上

Answer 1

如果你有已知正面概率的硬币

假设你有一个 function unfairCoin(p) ，这是一个 function 以已知概率p产生正面，否则产生反面。 例如，它可以这样实现：

function unfairCoin(p) {
   return Math.random() < p ? True : false;
}

假设所有涉及的概率总和为 1，这是一个算法，可以解决您的问题给定unfairCoin ：

1. 将cumu设置为 1。
2. 对于从第一个开始的每个项目：
   1. 获取与所选项目相关的概率（称为p ）并以概率p / cumu接受项目（例如，通过unfairCoin(p / cumu) ）。 如果该项目被接受，则退回该项目。
   2. 如果该项目未被接受，则从cumu中减去p 。

该算法的预期时间复杂度取决于概率的顺序。 一般来说，该算法的时间复杂度是线性的，但如果将概率按降序排序，则预期时间复杂度是恒定的。

编辑（7 月 30 日）：正如我刚刚发现的那样，Keith Schwarz 在Darts, Dice, and Coins中已经描述了这个精确的算法，在“用有偏差的硬币模拟加载的模具”中。 该页面还包含其正确性的证明。

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另一种解决方案使用拒绝抽样，但需要使用公平的硬币投掷生成随机 integer：

1. 在区间 [0, n) 内生成均匀随机 integer 索引，其中n为项目数。 例如，可以使用 J. Lumbroso 的Fast Dice Roller来做到这一点，它只使用公平的硬币投掷 ( unfairCoin(0.5) )； 请参阅下面的代码。 选择给定索引处的项目（从 0 开始）。
2. 获取与所选项目相关的概率（称为p ）并以概率p接受它（例如，通过unfairCoin(p) ）。 如果该项目被接受，则退回该项目； 否则，go 执行步骤 1。

该算法的预期时间复杂度取决于最低概率和最高概率之间的差异。

给定每个项目的权重，除了前面给出的算法之外，还有许多其他方法可以做出加权选择； 请参阅我关于加权选择算法的说明。

快速骰子滚子实施

以下是实现快速骰子滚轮的 JavaScript 代码。 请注意，它使用拒绝事件和循环来确保它是公正的。

function randomInt(minInclusive, maxExclusive) {
  var maxInclusive = (maxExclusive - minInclusive) - 1
  var x = 1
  var y = 0
  while(true) {
    x = x * 2
    var randomBit = (Math.random() < 0.5 ? 0 : 1)
    y = y * 2 + randomBit
    if(x > maxInclusive) {
      if (y <= maxInclusive) { return y + minInclusive }
      // Rejection
      x = x - maxInclusive - 1
      y = y - maxInclusive - 1
    }
  }
}

如果您的硬币正面概率未知

另一方面，如果你有一个 function COIN以未知的概率输出正面而反之，那么有两个问题需要解决才能获得解决方案：

1. 如何将有偏见的硬币变成公平的硬币。
2. 如何将一个公平的硬币变成一个装好的骰子。

换句话说，任务是将有偏差的硬币变成装好的骰子。

让我们看看如何解决这两个问题。

从有偏见的硬币到公平的硬币

假设您有一个 function COIN()以未知概率输出正面，否则输出反面。 （如果已知硬币产生正面的概率为 0.5，那么您已经拥有一枚公平的硬币，可以跳过此步骤。）

在这里，我们可以使用 1951 年的冯诺依曼算法，将有偏见的硬币变成公平的硬币。 它是这样工作的：

1. 翻转COIN()两次。
2. 如果两个结果都是正面或两个结果都是反面，go 到步骤 1。
3. 如果第一个结果是正面，另一个是反面，则以正面为最终结果。
4. 如果第一个结果是反面，另一个是正面，则以反面作为最终结果。

现在我们有一个公平的硬币FAIRCOIN() 。

（请注意，还有其他以这种方式生产公平硬币的方法，统称为随机提取器，但冯诺依曼方法可能是最简单的。）

从公平的硬币到装好的骰子

现在，将公平硬币变成骰子的方法要复杂得多。 可以说有很多方法可以解决这个问题，其中最新的称为快速加载骰子滚轮，它只使用公平的硬币产生一个加载的骰子（实际上，它平均使用多达 6 次公平的硬币投掷超过生产每个加载的模具辊的最佳数量）。 该算法实现起来并不简单，但请参阅我的Python 实现和Fast Loaded Dice Roller的作者的实现。

请注意，要使用快速加载骰子滚轮，您需要将每个概率表示为 integer 权重（例如您的示例中的 25、40、35）。

Answer 2

看看这个：

function weightedRandom(array) {
  // expected array: [[percent, var], [percent, var], ...] where sum of percents is 1
  var random=Math.random();
  var sofar=0;
  var index=-1;
  for(var i=0; i<array.length; i++) {
    if(sofar<random) index=i;
    sofar+=array[i][0];
  };
  return array[index][1];
}