我可以使用返回加權布爾值的 function 實現加權隨機性嗎？

Question

我有一種模仿不公平硬幣的方法。 您可以傳入一個百分比，它會通過返回 boolean 來告訴您是否成功。 所以如果你用.25 調用它，它會在 25% 的時間內返回true 。

我試圖弄清楚我是否可以使用這個 function 來創建一個加權隨機性 function，它的工作原理如下： There is a 25% chance it returns x, a 40% chance it returns y, and a 35% chance it returns z. 這只是一個例子。 我希望 function 可以處理無限數量的字母，但加在一起的百分比應該等於 1。

訣竅是，我希望能夠按照我剛才描述的方式來思考它。 換句話說：

result = function ({.25, x}, {.4, y}, {.35, z})

result應該是 x 25% 的時間，依此類推。 我可以用我的不公平幣實現這個 function 嗎？

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這是我在下面的評論中的措辭。它可能會澄清我的要求：

如果我在這里犯了錯誤，請糾正我的邏輯，但是假設 XY 和 Z 都有。3333...我不能用我的不公平硬幣來傳遞。3333...如果返回 true，那就意味着你得到了結果是 X。 如果返回 false，再次調用我的不公平。5 如果返回 true，則返回 Y，否則返回 Z。如果正確，如果數字 AREN'T.3333 並且如果有，我不知道如何使它工作三個以上

Answer 1

如果你有已知正面概率的硬幣

假設你有一個 function unfairCoin(p) ，這是一個 function 以已知概率p產生正面，否則產生反面。 例如，它可以這樣實現：

function unfairCoin(p) {
   return Math.random() < p ? True : false;
}

假設所有涉及的概率總和為 1，這是一個算法，可以解決您的問題給定unfairCoin ：

1. 將cumu設置為 1。
2. 對於從第一個開始的每個項目：
   1. 獲取與所選項目相關的概率（稱為p ）並以概率p / cumu接受項目（例如，通過unfairCoin(p / cumu) ）。 如果該項目被接受，則退回該項目。
   2. 如果該項目未被接受，則從cumu中減去p 。

該算法的預期時間復雜度取決於概率的順序。 一般來說，該算法的時間復雜度是線性的，但如果將概率按降序排序，則預期時間復雜度是恆定的。

編輯（7 月 30 日）：正如我剛剛發現的那樣，Keith Schwarz 在Darts, Dice, and Coins中已經描述了這個精確的算法，在“用有偏差的硬幣模擬加載的模具”中。 該頁面還包含其正確性的證明。

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另一種解決方案使用拒絕抽樣，但需要使用公平的硬幣投擲生成隨機 integer：

1. 在區間 [0, n) 內生成均勻隨機 integer 索引，其中n為項目數。 例如，可以使用 J. Lumbroso 的Fast Dice Roller來做到這一點，它只使用公平的硬幣投擲 ( unfairCoin(0.5) )； 請參閱下面的代碼。 選擇給定索引處的項目（從 0 開始）。
2. 獲取與所選項目相關的概率（稱為p ）並以概率p接受它（例如，通過unfairCoin(p) ）。 如果該項目被接受，則退回該項目； 否則，go 執行步驟 1。

該算法的預期時間復雜度取決於最低概率和最高概率之間的差異。

給定每個項目的權重，除了前面給出的算法之外，還有許多其他方法可以做出加權選擇； 請參閱我關於加權選擇算法的說明。

快速骰子滾子實施

以下是實現快速骰子滾輪的 JavaScript 代碼。 請注意，它使用拒絕事件和循環來確保它是公正的。

function randomInt(minInclusive, maxExclusive) {
  var maxInclusive = (maxExclusive - minInclusive) - 1
  var x = 1
  var y = 0
  while(true) {
    x = x * 2
    var randomBit = (Math.random() < 0.5 ? 0 : 1)
    y = y * 2 + randomBit
    if(x > maxInclusive) {
      if (y <= maxInclusive) { return y + minInclusive }
      // Rejection
      x = x - maxInclusive - 1
      y = y - maxInclusive - 1
    }
  }
}

如果您的硬幣正面概率未知

另一方面，如果你有一個 function COIN以未知的概率輸出正面而反之，那么有兩個問題需要解決才能獲得解決方案：

1. 如何將有偏見的硬幣變成公平的硬幣。
2. 如何將一個公平的硬幣變成一個裝好的骰子。

換句話說，任務是將有偏差的硬幣變成裝好的骰子。

讓我們看看如何解決這兩個問題。

從有偏見的硬幣到公平的硬幣

假設您有一個 function COIN()以未知概率輸出正面，否則輸出反面。 （如果已知硬幣產生正面的概率為 0.5，那么您已經擁有一枚公平的硬幣，可以跳過此步驟。）

在這里，我們可以使用 1951 年的馮諾依曼算法，將有偏見的硬幣變成公平的硬幣。 它是這樣工作的：

1. 翻轉COIN()兩次。
2. 如果兩個結果都是正面或兩個結果都是反面，go 到步驟 1。
3. 如果第一個結果是正面，另一個是反面，則以正面為最終結果。
4. 如果第一個結果是反面，另一個是正面，則以反面作為最終結果。

現在我們有一個公平的硬幣FAIRCOIN() 。

（請注意，還有其他以這種方式生產公平硬幣的方法，統稱為隨機提取器，但馮諾依曼方法可能是最簡單的。）

從公平的硬幣到裝好的骰子

現在，將公平硬幣變成骰子的方法要復雜得多。 可以說有很多方法可以解決這個問題，其中最新的稱為快速加載骰子滾輪，它只使用公平的硬幣產生一個加載的骰子（實際上，它平均使用多達 6 次公平的硬幣投擲超過生產每個加載的模具輥的最佳數量）。 該算法實現起來並不簡單，但請參閱我的Python 實現和Fast Loaded Dice Roller的作者的實現。

請注意，要使用快速加載骰子滾輪，您需要將每個概率表示為 integer 權重（例如您的示例中的 25、40、35）。

Answer 2

看看這個：

function weightedRandom(array) {
  // expected array: [[percent, var], [percent, var], ...] where sum of percents is 1
  var random=Math.random();
  var sofar=0;
  var index=-1;
  for(var i=0; i<array.length; i++) {
    if(sofar<random) index=i;
    sofar+=array[i][0];
  };
  return array[index][1];
}