如何计算该算法的时间复杂度

Question

我是渐近分析概念的新手。 我正在阅读 Goodrich 的“Python 中的数据结构和算法”。 在那本书中，它的实现如下：

 def prefix average2(S):
 ”””Return list such that, for all j, A[j] equals average of S[0], ..., S[j].”””
 n = len(S)
 A = [0] n # create new list of n zeros
 for j in range(n):
      A[j] = sum(S[0:j+1]) / (j+1) # record the average
 return A

这本书说这段代码在 O(n^2) 中运行，但我不明白如何。 S[0:j+1] 在 O(j+1) 时间内运行，但我们如何知道“sum()”在什么时间运行以及如何让运行时间为 O(n^2)？

Answer 1

您在循环中迭代 n 次。 在第一次迭代中，对 1 个数字（1 个时间步）求和，然后对 2 个（2 个时间步）求和，以此类推，直到达到 n（本次迭代的 n 个时间步，您必须访问每个元素一次）。 因此，您有 1+2+...+(n-1)+n=(n*(n+1))/2 个时间步。 这等于 (n^2+n)/2，或消除常数后的 n^2+n。 该术语的阶数为 2，因此您的运行时间为 O(n^2)（始终取最高功率）。

Answer 2

for j in range(n): # This loop runs n times.
      A[j] = sum(S[0:j+1]) # now lets extend this sum function's implementation.

我不确定sum(iterable) function 的实现，但它必须是这样的。

def sum(iterable):
    result=0

    for item in iterable: # worse time complexity: n
          result+=item
    return result

所以，最后，您的prefix_average2 function 将在最坏的情况下运行 n*n=n^2 次（当 j+1=n 时）

Answer 3

首先，我不是这个话题的专家，但我想和大家分享一下我的看法。

如果代码类似于以下：

for j in range(n):
    A[j] += 5 

那么我们可以说复杂度是O(n)

你可能会问为什么我们跳过了n=len(S)和A=[0] ？

因为这些变量需要 0(1) 时间来完成操作。

如果我们返回我们的案例：

for j in range(n):
    A[j] = sum(S[0:j+1]) ....

这里， sum(S[0:j+1])还有一个循环求和计算。

你可以这样想：

for q in S:
    S[q] += q  # This is partially right

重要的是在该代码中处理两个for循环计算。

for j in range(n):
    for q in range(S)
        A[j] = ....

因此，复杂度为 O(n^2)

Answer 4

For 循环（for j in range(n)）有 n 次迭代：

迭代（操作）

第一次迭代（对前 1 个元素求和的 1 次操作）

第二次迭代（对前 2 个元素求和的 2 次操作）

第三次迭代（对前 3 个元素求和的 3 次操作）

.

.

.

(n-1) 次迭代（n-1 次操作，用于对前 n-1 个元素求和）

第 n 次迭代（对前 n 个元素求和的 n 次操作）

所以，操作的总数是(1 + 2 + 3 +......(n-1) + n)......的总和

即 (n*(n+1))//2。

所以时间复杂度是 O(n^2)，因为我们必须 (n (n+1))//2 次操作。 *