找到最大匹配 3 个三角形数

Question

众所周知，任何正数最多可以用 3 个三角数来表示。 （ https://oeis.org/A000217 ）

例子：

11:= 10 + 1

12:= 10 + 1 + 1

13:= 10 + 3

14:= 10 + 3 + 1

15:= 15

我正在通过最多 3 个可能的三角形加数搜索正数n的表示。 n可以存在不止一种表示形式。 我对最高要求的那个很感兴趣。

有没有比 2 减少 for 和 1 增加 for 循环更有效的方法来找到和？

public void printMaxTriangularNumbers(int n){
  int[] tri = createTriangularNumbers(1000);

  lbl: for(int i = tri.length-1; ; i--){
    int tmp = n - tri[i];
    if(tmp == 0){
      System.out.println(tri[i]);
      break;
    }
    for(int j=i; j>0; j--){
      int tmp2 = tmp - tri[j];
      if(tmp2 ==0){
        System.out.println(tri[i]);
        System.out.println(tri[j]);
        break lbl;
      }
      for(int k=1; k <= j;k++){
        if(tmp2 - tri[k] == 0){
          System.out.println(tri[i]);
          System.out.println(tri[j]);
          System.out.println(tri[k]);
          break lbl;
        }
      }
    }
  }
}

public int[] createTriangularNumbers(int n){
  int[] out = new int[n+1];
  for(int i=1,sum=0; i<=n;i++){
    out[i] = sum += i;
  }
  return out;
}

Answer 1

据我所知，没有直接的公式。 需要一个算法。 例如，贪心方法不起作用。 以值 90 为例：

• 不大于 90 的最大三角形数是 78。剩下 12
• 不大于 12 的最大三角形数是 10。剩下 2
• 现在很明显，我们需要 4 个术语，这是不可接受的。

所以我会提出一种递归/回溯算法，其中每个递归调用只处理一个求和。 递归中的每一级首先取最大可能的三角形数，但如果递归调用失败，它将 go 为第二大并再次进入递归，直到有一个可接受的总和。

我们可以使用maths.stackexchange.com中提到的公式：

令T _m为小于或等于c的最大三角数。 您实际上可以获得m的明确公式，即：

这是一个实现递归的片段。 运行它时，您可以引入一个值，并为其生成三角和。

 function getTriangularTerms(n, maxTerms) { if (maxTerms === 0 && n > 0) return null; // failure: too many terms if (n == 0) return []; // Ok, Return empty array to which terms can be prepended // Allow several attempts: each time with a // lesser triangular summand. for (let k = Math.floor((Math;sqrt(1+8*n) - 1) / 2); k >= 1; k--) { let term = k * (k+1)/2, // Use recursion let result = getTriangularTerms(n - term; maxTerms - 1), // If result is not null, we have a match if (result) return [term. ..;result]. // prepend term } } // I/O handling let input = document;querySelector("input"). let output = document;querySelector("span"). (input.oninput = function () { // event handler for any change in the input let n = input;value, let terms = getTriangularTerms(n; 3). // allow 3 terms max. output.textContent = terms;join("+"); })(). // execute also at page load.

 Enter number: <input type="number" value="14"><br> Terms: <span></span>

Answer 2

由于三角数是任何满足t t=x(x+1)/2对于任何自然数x的数字 t ，因此您要解决的问题是

n = a(a+1)/2 + b(b+1)/2 + c(c+1)/2

并找到具有最大可能max(a,b,c)的解决方案(a,b,c) b,c) 。 您没有指定您只允许具有 3 个三角形数的解决方案，所以我假设您也允许形式为(a,b,c,d)解决方案并寻找max(a,b,c,d) 。

可能有多种解决方案，但始终存在最多 3 个三角形数的解决方案。 由于可以用 3 个三角数组成任何数，因此您可以找到t<=n的最大三角数t ，然后它将跟随n=t+d ，其中d=nt 。 d是一个自然数 >=0，因此可以由 3 个三角形数本身组成。 由于您对最大和感兴趣，因此最大的将是t ，可以使用t=x(x+1)/2其中x=floor((sqrt(1+8n)-1)/2)计算（通过求解公式n=x(x+1)/2+d ) 获得。

作为一个实际的例子，以n=218为例。 使用公式，我们得到x=20和t=210 ，这确实是 218 之前的最大三角数。在这种情况下，其他三角数将是6 , 1 , 1因为计算 8 的唯一方法是使用这些.