如何扩展此语法的项目集？

Question

我有这个语法

E -> E + i
E -> i

增广语法

E' -> E
E -> E + i
E -> i

现在我尝试扩展项目集 0

I0)
 E' -> .E
+E  -> .E + i
+E  -> .i

然后，由于我在I0有.E我会扩展它，但随后我会得到另一个E规则，依此类推，这是我的第一个疑问。

假设这没问题，接下来的项目集是

I0)
 E' -> .E
+E  -> .E + i
+E  -> .i

I1) (I moved the dot from I0, no variables at rhs of dot)
E' -> E.
E -> E. + i
E -> i.

I2) (I moved the dot from I1, no vars at rhs of dot)
E -> E +. i

I3) (I moved the dot from I2, also no vars)
E -> E + i.

然后我会有这个 DFA

I0 -(E, i)-> I1 -(+)-> I2 -(i)-> I3
              |                   |
              +-(∅)-> acpt <-(∅)--+

我错过了一些东西，因为E -> E + i必须接受i + i + ..但 DFA 不会回到 I0，所以对我来说似乎是错误的。 我的猜测是它应该有一个 I0 到 I0 的转换，但是我不知道这与点有关。

Answer 1

你所说的项目集的“扩展”实际上是一个闭包； 这就是我见过的所有算法描述中的描述方式（至少在教科书中）。 像任何闭包操作一样，您只需继续进行转换，直到达到一个不动点； 一旦你包含了E ，它们就会被包含在内。

但关键是您不是在构建 DFA。 您正在构建一个下推自动机，而 DFA 只是其中的一部分。 DFA 用于移位操作； 当你移动一个新的终端时（因为当前的解析堆栈不是一个句柄），你会根据 DFA 进行状态转换。 但是您也将当前状态推送到 PDA 的堆栈中。

有趣的部分是当自动机决定执行归约时会发生什么，它将产生式的右侧替换为其左侧的非终结符。 （堆栈顶部的右侧称为“句柄”。）要进行归约，您需要展开堆栈，弹出每个右侧符号（以及相应的 DFA 状态），直到到达生产。 这样做是将 DFA 倒回到它从右侧移动第一个符号之前的状态。 （请注意，只有在这一点上您才能确定使用了哪个产生式。）因此重置 DFA 后，您现在可以移动遇到的非终结符，执行相应的 DFA 转换，并继续解析。

这个过程的基础是解析器堆栈始终是一个“可行的前缀”； 也就是说，一系列符号是可以从起始符号导出的某些正确句子形式的前缀。 上下文无关文法的一组可行前缀的有趣之处在于，它是一种常规语言，因此可以被 DFA 识别。 当句柄被“修剪”（使用 Knuth 的原始词汇）时，上面给出的减少过程精确地表示了这个识别过程。

从这个意义上说，使用什么过程来确定要修剪哪个句柄并不重要，只要它提供了有效的答案。 例如，您可以在每次在堆栈顶部注意到潜在句柄时分叉解析，并与两个分叉并行继续。 通过巧妙的堆栈管理，可以在任何上下文无关文法的最坏情况 O(n ³ ) 时间内完成这种并行搜索（如果文法没有歧义，则可以减少这种情况）。 这是对 Earley 解析器的一个非常粗略的描述。

但是在 LR(k) 解析器的情况下，我们要求语法是明确的，并且我们还要求我们可以通过从输入流中查看不超过k个符号来识别减少，这是一个 O(1 ) 操作，因为k是固定的。 如果在解析中的每个点我们都知道是否要减少，如果知道选择哪种减少，那么可以按照我上面概述的方式实施减少。 对于固定语法，每次缩减都可以在 O(1) 时间内执行（因为特定语法中右侧的最大大小是固定的），并且由于解析中的缩减次数与语法的大小呈线性关系输入，整个解析可以在线性时间内完成。

这有点不正式，但我希望它可以作为一种直观的解释。 如果您对正式证明感兴趣，Donald Knuth 1965 年的原始论文（关于从左到右的语言翻译）很容易找到，并且随着这些内容的发展具有很高的可读性。