如何在恒定时间内仅使用算术运算来计算指数？

Question

我试图找到一种方法来遍历大小为 N 的整数数组，并将这些整数中的每一个乘以 128^((N-1) - i)，其中 N 是数组的长度，i 是索引的整数，然后将所有这些结果加在一起。

例如，[1, 2, 3, 4] 的数组输入将返回 1 * (128^3) + 2 * (128^2) + 3 * (128^1) + 4 * (128^0)。

我的算法需要在 O(N) 时间内运行，但指数运算很昂贵，例如，2^3 需要三个运算。 所以，我需要找到一种方法来在 O(1) 时间内对数组中的每个整数进行运算，只使用算术运算（-、+、*、/、%）。 我能想到的最明显（不正确）的方法是简单地将每个整数 (Ni) 相乘，但这不需要常数时间。 我也在考虑通过平方使用取幂，但这需要 log_2(Ni) 时间来操作每个整数，这不是常数。

Answer 1

128 是 2^7，将一个数乘以 128^k 会将其二进制表示向左移动 7*k 个位置。

1 * (128^3) + 2 * (128^2) + 3 * (128^1) + 4 * (128^0)
= 1000000000000000000000 + 1000000000000000 + 110000000 + 100 

Answer 2

回答标题问题：可以证明，使用恒定数量的这些操作，您不能使数字足够大以获取足够大的指数。

要回答潜在的问题：您可以使用有时归因于霍纳的多项式评估方法： ((1 * 128 + 2) * 128 + 3) * 128 + 4 。 请注意，除非您正在修改某些东西，否则操作 bignums 仍然会花费您 Õ(n ² ) 时间。

如果您确实在使用 bignum，那么假设 bignum 乘法比学校方法运行得更快，则有一种更复杂的分治法应该会更快。 这个想法是将输入分成两半，使用递归分别评估下半部分和上半部分，然后将它们放在一起。 在你的例子中，这看起来像

(1 * 128 + 2) * 128^2 + (3 * 128 + 4),

我们通过重复平方计算术语128^2 （即128^(n/2) ）。 操作次数仍然是 O(n) 因为我们有重复

T(n) = 2 T(n/2) + O(log n),

这属于案例 1 。 在实践中，运行时间将由大乘法主导，无论特定实现具有何种渐近复杂度。