无法使用 Sympy solve 找到符号解决方案

Question

我正在使用描述分子荧光发射的动力学模型。

我能够通过实验测量四个参数：两个寿命 (τ1, τ2)、荧光量子产率 (ϕf) 和辐射率 (kr)。

我的模型包含三个未知率，kMR、kRM 和 knr。 我有一组包含所有这些值的三个方程，我想使用 sympy 求解三个未知数。

这是代码：

from sympy import *                                                                                                                                         
                                                                                                                                                            
kr, k1, k2, phi, kMR,kRM,knr = symbols('kr k1 k2 phi kMR kRM knr', real=True)                                                                               
                                                                                                                                                            
                                                                                                                                                            
#kr = 0.00014                                                                                                                                               
#k1 = 1/9                                                                                                                                                   
#k2 = 1/49                                                                                                                                                  
#phi= 0.005                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                            
Phi = kr/(kr+kMR-kMR*kRM/(kRM+knr))                                                                                                                         
X = kr + kMR                                                                                                                                                
Y = kRM + knr                                                                                                                                               
K1 = (X+Y+sqrt(X**2-2*X*Y+Y**2+4*kMR*kRM))/2                                                                                                                
K2 = (X+Y-sqrt(X**2-2*X*Y+Y**2+4*kMR*kRM))/2                                                                                                                
                                                                                                                                                            
solutions = solve([K1-k1,K2-k2,Phi-phi],(kMR,kRM,knr))                                                                                                      
print(solutions) 

如果我取消对测量值的注释，将在几秒钟内找到数值解。 然而，我的测量容易出错，所以我有兴趣探索整个解决方案空间，看看模型对每个参数的敏感程度。 我也有来自不同实验的不同测量值。 因此，我想根据测量值获得 kMR、kRM 和 knr 的符号表达式。 不幸的是，如果我运行它，它就不会收敛。

你能帮我获得我正在寻找的符号解决方案吗？

谢谢！

Answer 1

我不确定solve究竟在做什么，但我建议在没有平方根的情况下重写你的方程，你可以用unrad 。 例如你的第一个方程是：

In [50]: K1 - k1                                                                                                                               
Out[50]: 
                                _____________________________________________________________________
                               ╱                       2                                           2 
      kMR   kRM   knr   kr   ╲╱  4⋅kMR⋅kRM + (kMR + kr)  - (2⋅kMR + 2⋅kr)⋅(kRM + knr) + (kRM + knr)  
-k₁ + ─── + ─── + ─── + ── + ────────────────────────────────────────────────────────────────────────
       2     2     2    2                                       2                                    

In [51]: from sympy.solvers.solvers import unrad                                                                                               

In [52]: unrad(K1 - k1)                                                                                                                        
Out[52]: 
⎛  2                                                                   ⎞
⎝k₁  - k₁⋅kMR - k₁⋅kRM - k₁⋅knr - k₁⋅kr + kMR⋅knr + kRM⋅kr + knr⋅kr, []⎠

应用这个给出一个多项式系统，其解可能是原始系统解的超集。

这给出了：

In [53]: eq1 = unrad(K1-k1)[0]                                                                                                                 

In [54]: eq2 = unrad(K2-k2)[0]                                                                                                                 

In [55]: solve([eq1, eq2, Phi-phi], [kMR, kRM, knr])                                                                                           
Out[55]: 
⎡⎛  k₁⋅k₂⋅φ                   k₁⋅k₂⋅(k₁⋅φ - kr)⋅(k₂⋅φ - kr)            k₁⋅k₂⋅kr⋅(φ - 1)      ⎞⎤
⎢⎜- ─────── + k₁ + k₂ - kr, ──────────────────────────────────, ─────────────────────────────⎟⎥
⎢⎜     kr                      ⎛                            2⎞                              2⎟⎥
⎣⎝                          kr⋅⎝k₁⋅k₂⋅φ - k₁⋅kr - k₂⋅kr + kr ⎠  k₁⋅k₂⋅φ - k₁⋅kr - k₂⋅kr + kr ⎠⎦