在线性时间内找到有向图中边的最大成本差异的路径

Question

有一个有向图G ，其边具有正权重，我们将路径成本定义为具有最小权重和最大权重的边之间的差异。 目标是在其他路径中找到成本最高的路径。 我们不需要只返回最大成本的路径本身。

如果x是顶点数， y是边数，则x < 10^5和y < min(x^2,10^5) 。 时间限制为 1 秒。

基于边界，我认为这个问题必须在O(x+y)时间内解决。

因此，基于问题属性和对其他算法的一些研究，我认为可能的答案可能包含多个DFS （如 SCC 问题）。 我也发现了 Dijkstra 算法的类似问题，可以针对此问题进行修改，但我不太确定复杂度是否合适。 还有一些其他问题与我的类似，但答案是O(m^2)或更高，效率不高。

除了上面提到的以外，我不知道如何解决这个问题，一些见解会很有帮助。 谢谢

Answer 1

解决方案：由于我们的图表可能有循环，这使我们的事情变得复杂。 让我们构建一个新图，在其中我们将强连接的所有组件“压缩”到单个顶点中，因此新图将是非循环的。 在此过程中，让我们记住每个强连接组件的边的最大（ maximumWeight[v] ）和最小（ minimumWeigh[v] ）权重。 我们为此花费了O(|V| + |E|)时间，其中|V| 是顶点数， |E| 如果边是计数。

之后让我们以O(|V|+|E|)的时间复杂度对给定的图进行拓扑排序。 然后我们来计算简单的DP。

dpMax[v] - 从该顶点到有路径的边的最大权重。 dpMin[v] - 有从该顶点到的路径的边的最小权重。

默认值：如果顶点v是强连通分量，则最大和最小权重已经计算在maximumWeight[v]和minimumWeigh[v]中，因此dpMax[v] = maximumWeight[v]和dpMin[v] = minimumWeight[v] 。 否则maximumWeight[v] = -Infinity和minimumWeigh[v] = Infinity 。

按照拓扑顺序，让我们改进每个顶点的 DP：

int answer = -Infinity;
for(auto v : vertexesInTopologicalOrder) {
    int newMinDp = dpMin[v], newMaxDp = dpMax[v];
    for(auto e : v.outgoingEdges) {
        int l = dpMin[v];
        int r = dpMax[v];
        l = min(l, e.weight);
        r = max(r, e.weight);
        l = min(l, dpMin[e.target]);
        r = max(r, dpMax[e.target]);
        answer = max(answer, e.weight - l);
        answer = max(answer, r - e.weight);
        newMinDp = min(newMinDp, l);
        newMaxDp = max(newMaxDp, r);
    }
    dpMin[v] = newMinDp;
    dpMax[v] = newMaxDp;
}

由于我们按拓扑顺序计算 DP，因此已经计算了可实现顶点的 DP。

为了更好地理解，让我们看一个例子。

假设我们有这样一个初始图。