在有向图中找到至少有5条边的简单路径

Question

我有个问题。 给定一个有向图（G = V，E）和V组的源顶点s。 我们要检查从s到G中至少有5条边的任何顶点是否存在简单路径（无圆）。 提供尽可能有效的算法，以解决可能包含圆的图形G的问题。

拜托我需要你的帮忙

谢谢 ：-）

Answer 1

我们需要找到从顶点s开始的任何5边简单有向路径。 此路径如下所示：

s -> a -> b -> c -> d -> e   (all distinct)

现在让我们遍历c的所有可能值（除s之外s任何顶点），然后对于每个c值，我们可以遍历不包含s和c顶点的所有边，对于边(x, y)请执行以下操作：

if edge (s, x) exists and edge (y, c) exists
    put (x, y) in AB edges list
if edge (c, x) exists 
    put (x, y) in DE edges list

这可以在O(|E|) 。 然后，我们需要找到一对边(E1, E2) ，以使E1在AB ， E2在DE并且它们不共享任何顶点。 后者可以在O(|E|) 。

我们可以取一个G' = (V, DE)并找到顶点的度数。 然后对于AB每个边(a, b) ，我们需要检查

degree(a) + degree(b) = |DE| + x    

其中x = 1 ，如果(a, b)是在DE ，否则x = 0 。 如果不成立此等式，则意味着DE中有a既不包含a也不包含b ，我们可以遍历整个DE来找到答案。

加上O(|E|)附加内存，总体复杂度将为O(|V||E|) 。