循环有向图中的最长路径，其边具有受限的通过次数

Question

我有一个带循环的有向图。 这个图最重要的部分是每条边都有一个可以通过多少次的约束，之后它应该变得“不可用”。

我将如何 go 找到最长的路径？ 任何信息或链接或评论将不胜感激。 谢谢！

Answer 1

不幸的是，这个问题是NP-complete ，这意味着不太可能存在“快速”算法（可以在多项式时间内解决每个实例的算法）； 您需要满足于不能保证找到最佳解决方案的快速启发式算法，或者使用只能在合理时间内解决小实例的指数时间算法。

我将通过将有向图 (HP) 中的 NP 完全问题哈密顿路径简化为您的问题来展示这一点。 简而言之，这个想法是：如果存在某种算法可以“快速”解决问题的每个实例（意味着在多项式时间内），那么它也可以用作解决 HP 的每个实例的子程序——这似乎不太可能，因为尽管进行了数十年的 CS 研究，但没有人知道如何在多项式时间内解决 HP（或任何 NP 完全问题）。

在HP中，给定一个有向图G = (V, E)，任务是判断是否存在一条访问所有|V|的路径。 顶点恰好一次。 给定这个问题的一个实例，我们可以为您的问题构造一个实例 G'，如下所示：

• 将每个顶点v替换为三个顶点v_in、v_mid和v_out，将所有入边改为v为入边为v_in，将所有出边从v改为出边； 将这些边缘称为“乌木边缘”（它们对应于 G 中的边缘）。 还要添加从 v_in 到 v_mid 和从 v_mid 到 v_out 的边； 将这些边称为“天鹅绒边”（它们对应于 G 中的一个顶点）。
• 为每条边分配 1 的通过限制。

该图中存在长度为 3|V|-1 的路径当且仅当原始图 G 中存在哈密顿路径：

“如果”方向：假设 G 包含哈密顿路径。 这对应于构造图中长度为 3|V|-1 的路径，该路径以一对天鹅绒边开始和结束，并在天鹅绒和乌木边之间交替，模式为 VVEVVE...EVV。

“仅当”方向：假设在构建的图中存在长度为 3|V|-1 的路径 P。 每条边的通过限制为 1，因此每条边在这条路径中最多出现一次。 P 必须具有以下边缘模式之一：

1. VVEVVE...EVV
2. VEVVE...EVVE
3. EVVE...EVVEV

在每种情况下，P 至少遍历与 G 中的每个顶点对应的两条天鹅绒边中的一条，因此对应于 G 中的哈密顿路径。