使用回溯的 N-Queens II 很慢

Question

n皇后谜题是在nxn棋盘上放置n个皇后以使没有两个皇后相互攻击的问题。

给定一个 integer n，返回 n-queens 谜题的不同解的数量。

https://leetcode.com/problems/n-queens-ii/

我的解决方案：

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        def genRestricted(restricted, r, c):
            restricted = set(restricted)
            for row in range(n): restricted.add((row, c))
            for col in range(n): restricted.add((r, col))
            movements = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]]
            for movement in movements:
                row, col = r, c
                while 0 <= row < n and 0 <= col < n:
                    restricted.add((row, col))
                    row += movement[0]
                    col += movement[1]
            return restricted

        def gen(row, col, curCount, restricted):
            count, total_count = curCount, 0

            for r in range(row, n):
                for c in range(col, n):
                    if (r, c) not in restricted:
                        count += 1
                        if count == n: total_count += 1
                        total_count += gen(row + 1, 0, count, genRestricted(restricted, r, c))
                        count -= 1

            return total_count

        return gen(0, 0, 0, set())

它在 n=8 时失败。 我不知道为什么，以及如何减少迭代。 看来我已经在做尽可能少的迭代了。

Answer 1

restricted集似乎在时间和空间上都是浪费的。 在成功递归结束时， n级深它增长到n^2大小，这将总复杂度驱动到O(n^3) 。 而且它并不是真正需要的。 通过查看已放置的皇后更容易检查方格的可用性（请原谅国际象棋术语； file代表垂直， rank代表水平）：

def square_is_safe(file, rank, queens_placed):
    for queen_rank, queen_file in enumerate(queens_placed):
        if queen_file == file:                      # vertical attack
            return false
        if queen_file - file == queen_rank - rank:  # diagonal attack
            return false
        if queen_file - file == rank - queen_rank:  # anti-diagonal attack
            return false
    return true

用于

def place_queen_at_rank(queens_placed, rank):
    if rank == n:
        total_count += 1
        return

    for file in range(0, n):
        if square_is_safe(file, rank, queens_placed):
            queens_placed.append(file)
            place_queen_at_rank(queens_placed, rank + 1)

    queens_placed.pop()

而且还有很大的优化空间。 例如，您可能希望对第一个等级进行特殊处理：由于对称性，您只需要检查其中的一半（将执行时间缩短 2 倍）。

Answer 2

对于 n ≤ 9（链接谜题中的界限），枚举车的所有有效位置并验证没有攻击对角线移动就足够了。

import itertools


def is_valid(ranks):
    return not any(
        abs(f1 - f2) == abs(r1 - r2)
        for f1, r1 in enumerate(ranks)
        for f2, r2 in enumerate(ranks[:f1])
    )


def count_valid(n):
    return sum(map(is_valid, itertools.permutations(range(n))))


print(*(count_valid(i) for i in range(1, 10)), sep=",")

Answer 3

在这种问题中，您必须首先关注算法，而不是代码。

下面我将重点介绍算法，仅以C++为例进行说明。

一个主要问题是能够快速检测给定的 position 是否已由现有皇后控制。

一种简单的可能性是索引对角线（对于 0 到 2N-1），如果相应的对角线、对角线或列已经被控制，则在数组中跟踪。 任何索引对角线或对角线的方法都可以完成这项工作。 对于给定的(row, column)点，我使用：

diagonal index = row + column
antidiagonal index = n-1 + col - row

另外，我使用了一个简单的对称性：只需要计算从0 to n/2-1的行索引的可能性数量（如果n为奇数，则为n/2 ）。

当然可以通过使用其他对称性来加快速度。 但是，实际上，对于小于或等于 9 的n值，它看起来已经足够快了。

结果：

2 : 0 time : 0.001 ms
3 : 0 time : 0.001 ms
4 : 2 time : 0.001 ms
5 : 10 time : 0.002 ms
6 : 4 time : 0.004 ms
7 : 40 time : 0.015 ms
8 : 92 time : 0.05 ms
9 : 352 time : 0.241 ms
10 : 724 time : 0.988 ms
11 : 2680 time : 5.55 ms
12 : 14200 time : 31.397 ms
13 : 73712 time : 188.12 ms
14 : 365596 time : 1046.43 ms

这是 C++ 中的代码。 由于代码非常简单，您应该可以轻松地将其转换为 Python。

#include <iostream>
#include <chrono>

constexpr int N_MAX = 14;
constexpr int N_DIAG = 2*N_MAX + 1;

class Solution {
public:
    int n;
    int Col[N_MAX] = {0};
    int Diag[N_DIAG] = {0};
    int AntiDiag[N_DIAG] = {0};
    
    int totalNQueens(int n1) {
        n = n1;
        if (n <= 1) return n;
        int count = 0;
        for (int col = 0; col < n/2; ++col) {
            count += sum_from (0, col);
        }
        count *= 2;
        if (n%2) count += sum_from (0, n/2);
        return count;
    }
    
    int sum_from (int row, int col) {
        if (Col[col]) return 0;
        int diag = row + col;
        if (Diag[diag]) return 0;
        int antidiag = n-1 + col - row;
        if(AntiDiag[antidiag]) return 0;
        if (row == n-1) return 1;
        int count = 0;
        Col[col] = 1;
        Diag[diag] = 1;
        AntiDiag[antidiag] = 1;
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
            count += sum_from (row+1, k);
        }
        Col[col] = 0;
        Diag[diag] = 0;
        AntiDiag[antidiag] = 0;
        return count;
    }
};


int main () {
    int n = 1;
    while (n++ < N_MAX) {
        auto start = std::chrono::high_resolution_clock::now();
        Solution Sol;
        std::cout << n << " : " << Sol.totalNQueens (n) << " time : ";
        auto diff = std::chrono::high_resolution_clock::now() - start;
        auto duration = std::chrono::duration_cast<std::chrono::microseconds>(diff).count();
        std::cout << double(duration)/1000 << " ms" << std::endl;
    }
    return 0;
}

Answer 4

您可以通过每行仅放置一个皇后来避免检查水平冲突。 这还允许您通过仅标记后续行来减小对角冲突矩阵的大小。 对列冲突使用简单的 boolean 标志列表也可以节省时间（与在矩阵中标记多个条目相反）

这是一个作为解决方案生成器的示例：

def genNQueens(size=8):
    # setup queen coverage from each position {position:set of positions}
    reach = { (r,c):[] for r in range(size) for c in range(0,size) }
    for R in range(size):
        for C in range(size):
            for h in (1,-1): # diagonals on next rows
                reach[R,C].extend((R+i,C+h*i) for i in range(1,size))
            reach[R,C] = [P for P in reach[R,C] if P in reach]
    reach.update({(r,-1):[] for r in range(size)}) # for unplaced rows

    # place 1 queen on each row, with backtracking
    cols     = [-1]*size            # column of each queen (start unplaced)
    usedCols = [False]*(size+1)     # column conflict detection
    usedDiag = [[0]*(size+1) for _ in range(size+1)] # for diagonal conflicts
    r        = 0
    while r >= 0:
        usedCols[cols[r]] = False
        for ur,uc in reach[r,cols[r]]: usedDiag[ur][uc] -= 1
        cols[r] = next((c for c in range(cols[r]+1,size)
                        if not usedCols[c] and not usedDiag[r][c]),-1)
        usedCols[cols[r]] = True
        for ur,uc in reach[r,cols[r]]: usedDiag[ur][uc] += 1
        r += 1 if cols[r]>=0 else -1   # progress or backtrack
        if r<size : continue           # continue until all rows placed
        yield [*enumerate(cols)]       # return result
        r -= 1                         # backtrack to find more
        

output：

from timeit import timeit
for n in range(3,13):
    t = timeit(lambda:sum(1 for _ in genNQueens(n)), number=1)
    c = sum(1 for _ in genNQueens(n))
    print(f"solutions for {n}x{n}:", c, "time:",f"{t:.4g}")    

solutions for 3x3: 0 time: 0.000108
solutions for 4x4: 2 time: 0.0002044
solutions for 5x5: 10 time: 0.0004365
solutions for 6x6: 4 time: 0.0008741
solutions for 7x7: 40 time: 0.003386
solutions for 8x8: 92 time: 0.009881
solutions for 9x9: 352 time: 0.03402
solutions for 10x10: 724 time: 0.1228
solutions for 11x11: 2680 time: 0.5707
solutions for 12x12: 14200 time: 2.77
    

Answer 5

只需一项更改（删除gen中的 r 循环）即可使您的解决方案成为交流电。

主要原因是您的gen有参数row ，它将使用row + 1调用自身，因此无需for r in range(row, n): 。 这是不必要的。 只是删除它，您的解决方案是完全可以接受的。（我们需要在嵌套调用之前添加else ）

---

结果如下： 更改前：

1 1      1.8358230590820312e-05
2 0      5.7697296142578125e-05
3 0      0.00036835670471191406
4 2      0.0021448135375976562
5 10     0.02212214469909668
6 4      0.23602914810180664
7 40     3.0731561183929443

更改后：

1 1      1.6450881958007812e-05
2 0      3.1948089599609375e-05
3 0      0.0001366138458251953
4 2      0.0002281665802001953
5 10     0.0008234977722167969
6 4      0.0028502941131591797
7 40     0.01242375373840332
8 92     0.05443763732910156
9 352    0.2279810905456543

对于 n = 7 的情况，它只使用原始版本的0.4%时间，并且 n = 8 绝对可以工作。

class Solution:
    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        def genRestricted(restricted, r, c):
            restricted = set(restricted)
            for row in range(n): restricted.add((row, c))
            for col in range(n): restricted.add((r, col))
            movements = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]]
            for movement in movements:
                row, col = r, c
                while 0 <= row < n and 0 <= col < n:
                    restricted.add((row, col))
                    row += movement[0]
                    col += movement[1]
            return restricted

        def gen(row, col, curCount, restricted):
            count, total_count = curCount, 0

            for c in range(col, n):
                if (row, c) not in restricted:
                    count += 1
                    if count == n: total_count += 1
                    else: total_count += gen(row + 1, 0, count, genRestricted(restricted, row, c))
                    count -= 1

            return total_count

        return gen(0, 0, 0, set())
if __name__ == '__main__':
    import time
    s = Solution()
    for i in range(1, 8):
        t0 = time.time()
        print(i, s.totalNQueens(i), '\t', time.time() - t0)

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当然，还可以进行其他增强。 但这是最大的一个。

例如，您在添加每个点后更新并创建了一个新的限制/禁止点。 顺便说一句，我不同意 @user58697 的restricted ，根据您的解决方案，这是必要的，因为您需要克隆和更新以获得新的，以避免在递归调用循环中恢复它。

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顺便说一句，以下是我的解决方案，仅供您参考：

class Solution:
    def solveNQueens_n(self, n): #: int) -> List[List[str]]:
        cols = [-1] * n # index means row index
        self.res = 0
        usedCols = set() # this and cols can avoid vertical and horizontal conflict

        def dfs(r): # current row to fill in
            def valid(c):
                for r0 in range(r):
                    # (r0, c0), (r1, c1) in the (back-)diagonal, |r1 - r0| = |c1 - c0|
                    if abs(c - cols[r0]) == abs(r - r0):
                        return False
                return True
            if r == n: # valid answer
                self.res += 1
                return
            for c in range(n):
                if c not in usedCols and valid(c):
                    usedCols.add(c)
                    cols[r] = c
                    dfs(r + 1)
                    usedCols.remove(c)
                    cols[r] = -1

        dfs(0)
        return self.res

Answer 6

好吧，我错过的一件事是每一行都必须有一个女王。 非常重要的观察。 gen 方法必须像这样修改：

    def gen(row, col, curCount, restricted):
        if row == n: return 0
        
        count, total_count = curCount, 0
        
        for c in range(col, n):
            if (row, c) not in restricted:
                if count + 1 == n: total_count += 1
                total_count += gen(row + 1, 0, count + 1, genRestricted(restricted, row, c))
                    
        return total_count

它只击败了约 20% 的提交，所以它一点也不完美。 离得很远。

Answer 7

仅供参考，这是我遇到的该平台上最快的（在Python类别中，它击败了 97% 的提交）。 但是，它需要一些深入的潜水......

    def totalNQueens(self, n: int) -> int:
        def dfs(n, row, col, primary, secondary):
            nonlocal ans
            if row == n:
                ans += 1
                return
            
            available = ~(col | primary | secondary) & ((1 << n) - 1)
            while available:
                p = available & -available
                available ^= p
                dfs(n, row+1, col|p, (primary|p) >> 1, (secondary|p) << 1)
        
        ans = 0
        dfs(n, 0, 0, 0, 0)
        return ans