使用 Sympy 的最大似然 function 返回空列表

Question

我想创建一个 function，它将返回由最大似然 Function 计算的估计量。 我做的function如下：

def Maximum_Likelihood(param, pmf):
    
    i = symbols('i', positive=True)
    n = symbols('n', positive=True)
    
    Likelihood_function = Product(pmf, (i, 1, n)) 
    # calculate partial derivative for parameter (p for Bernoulli)
    deriv = diff(Likelihood_function, param) 
    equation_to_solve = Eq(deriv,0) # equate with 0
    
    # solve above equation and return parameter (p for Bernoulli)
    return solve(equation_to_solve, param) 

参数表示我想知道估计器的参数，而pmf是概率质量 function。

例如，我想获得伯努利分布中参数p的估计量。 最大似然应该是这样的：

我的代码。 进口：

import numpy as np
import sympy as sym

from sympy.solvers import solve

from sympy import Product, Function, oo, IndexedBase, diff, Eq, symbols

现在，使用 Sympy 我定义了它：

def Maximum_Likelihood(param, pmf):
    
    i = symbols('i', positive=True)
    n = symbols('n', positive=True)
    
    Likelihood_function = Product(pmf, (i, 1, n)) 
    deriv = diff(Likelihood_function, param) 
    equation_to_solve = Eq(deriv,0) 
    
    return solve(equation_to_solve, param) 

和伯努利的例子：

x = IndexedBase('x')
i = symbols('i', positive=True)
n = symbols('n', positive=True)
formula = (p**x[i])*((1-p)**(1-x[i]))

Likelihood_function = Product(formula, (i, 1, n))
Likelihood_function

当我想得到 Maximum_Likelihood(param, pmf) 的结果时：

param = p 
pmf = formula
print(Maximum_Likelihood(param, pmf))

我得到“[]”。 我想获得应该如下所示的 p 估计量：

您能否看一下它并建议我做错了什么。 谢谢！

Answer 1

由于某种原因，产品的差异实际上并未评估导数，但您可以使用doit强制评估：

In [14]: solve(Eq(diff(Product(p**x[i]*(1 - p)**(1 - x[i]), (i, 1, n)), p), 0).doit(), p)
Out[14]: 
⎡  n       ⎤
⎢ ___      ⎥
⎢ ╲        ⎥
⎢  ╲       ⎥
⎢  ╱   x[i]⎥
⎢ ╱        ⎥
⎢ ‾‾‾      ⎥
⎢i = 1     ⎥
⎢──────────⎥
⎣    n     ⎦

这就是说p的 MLE 估计值只是我猜测的数据的样本均值。