主定理 f(n) = cn^k

Question

我想知道当 f(n) = xn ^k和 n^(log _b a) = n ^k时出现的主定理的特定情况，其中 x 是大于 1 的 integer。对于这种情况，f(n) 是大于 n^(log _b a) 但它不是多项式大于它，因此不会出现情况 3。

对于这样的案例，我假设您使用案例 2，因为它们的大 O 是相同的，但这似乎不符合我能找到的等式。 似乎我在将 f(n) 直接从原始递归关系中取出而不是大 O 时犯了一个错误，因为这对我来说似乎很有意义，但我找不到任何关于这个或任何例子的澄清其中方程中 f(n) 的空间还不是它自己的大 O。

编辑：当我说“我能找到的方程”时，我的意思是假设不符合主定理，因为我可以解决它。 因为我有它，我正在谈论的案例 2 的主定理看起来像f(n) = Θ(n^(log _b a)) 。 我认为重要的一点是，是否从以 + xn ^k结尾的等式中提取 f(n) = xn ^k或 f(n) = n ^k 。 为糟糕的措辞道歉。

Answer 1

我认为真正重要的是，我是否从以 + xnk 结尾的等式中提取 f(n) = xnk 或 f(n) = nk。

通常你应该采取 f(n) = x * n ^k 。 因为主定理将 T(n) 定义为 aT(n/b) + f(n)的形式。 但在你的例子中，这并不重要。

如果 x 是一个正常数，f(n) 和 x * f(n) 的增长是相同的。 在 f(n) = xn ^k的情况下，它们都是 Θ(n ^k )。 （或者你可以说它们都是 Θ(x * n ^k )。这与 Θ(n ^k ) 的集合相同。）

由于 f(n) = Θ(n ^{log _b a} )，这里应该使用主定理的情况 2。 在这种情况下，定理说 T(n) = Θ(n ^{log _b a} * lgn)。

同样，如果你写Θ(n ^{log _b a} * lgn)或Θ(5 * n ^{log _b a} * lgn)或Θ(x * n ^{log _b a} * lgn)在这里也没关系。 将 function 与正常数相乘不会改变其渐近界。 主定理只给你 function 的渐近界限，而不是它的确切值。