主定理 f(n) = cn^k

Question

我想知道當 f(n) = xn ^k和 n^(log _b a) = n ^k時出現的主定理的特定情況，其中 x 是大於 1 的 integer。對於這種情況，f(n) 是大於 n^(log _b a) 但它不是多項式大於它，因此不會出現情況 3。

對於這樣的案例，我假設您使用案例 2，因為它們的大 O 是相同的，但這似乎不符合我能找到的等式。 似乎我在將 f(n) 直接從原始遞歸關系中取出而不是大 O 時犯了一個錯誤，因為這對我來說似乎很有意義，但我找不到任何關於這個或任何例子的澄清其中方程中 f(n) 的空間還不是它自己的大 O。

編輯：當我說“我能找到的方程”時，我的意思是假設不符合主定理，因為我可以解決它。 因為我有它，我正在談論的案例 2 的主定理看起來像f(n) = Θ(n^(log _b a)) 。 我認為重要的一點是，是否從以 + xn ^k結尾的等式中提取 f(n) = xn ^k或 f(n) = n ^k 。 為糟糕的措辭道歉。

Answer 1

我認為真正重要的是，我是否從以 + xnk 結尾的等式中提取 f(n) = xnk 或 f(n) = nk。

通常你應該采取 f(n) = x * n ^k 。 因為主定理將 T(n) 定義為 aT(n/b) + f(n)的形式。 但在你的例子中，這並不重要。

如果 x 是一個正常數，f(n) 和 x * f(n) 的增長是相同的。 在 f(n) = xn ^k的情況下，它們都是 Θ(n ^k )。 （或者你可以說它們都是 Θ(x * n ^k )。這與 Θ(n ^k ) 的集合相同。）

由於 f(n) = Θ(n ^{log _b a} )，這里應該使用主定理的情況 2。 在這種情況下，定理說 T(n) = Θ(n ^{log _b a} * lgn)。

同樣，如果你寫Θ(n ^{log _b a} * lgn)或Θ(5 * n ^{log _b a} * lgn)或Θ(x * n ^{log _b a} * lgn)在這里也沒關系。 將 function 與正常數相乘不會改變其漸近界。 主定理只給你 function 的漸近界限，而不是它的確切值。