主定理案例2-常數k

Question

我正在研究Master定理的一個中期項目，並且遇到了一個案例2，其中k>0。我了解該定理的所有內容，除了常數及其遞增或計算方式。

情況2表示：當n ^{log _b a} = f（n）時，T（n）=Θ（n ^{log _b a} log ^{k + 1} n），但k來自何處？

有問題的示例：

矩陣乘法

cilk void Mult(*C, *A, *B, n) {
    float *T = Cilk_alloca(n*n*sizeof(float));
    spawn Mult(C11,A11,B11,n/2);
    spawn Mult(C12,A11,B12,n/2);
    spawn Mult(C22,A21,B12,n/2);
    spawn Mult(C21,A21,B11,n/2);
    spawn Mult(T11,A12,B21,n/2);
    spawn Mult(T12,A12,B22,n/2);
    spawn Mult(T22,A22,B22,n/2);
    spawn Mult(T21,A22,B21,n/2);
    sync;
    spawn Add(C,T,n);
    sync; 
    return;
}

cilk void Add(*C, *T, n) {
  h base case & partition matrices i
  spawn Add(C11,T11,n/2);
  spawn Add(C12,T12,n/2);
  spawn Add(C21,T21,n/2);
  spawn Add(C22,T22,n/2);
  sync;
  return;
}

發現加法的范圍是：Θ（log n）

在計算乘法范圍時，示例說明：

M1（n）= M1（n / 2）+ A1（n）+Θ（1）

A1（n）實際上就是Θ（log n）：M1（n）= M1（n / 2）+Θ（log n）

n log _b a = n log ₂ 1 = 1-> f（n）=Θ（n ^{log _b a} log ¹ n）

因此，跨度最終為：Θ（log ² n）。

我想知道的是為什么在此示例中k = 1？

Answer 1

您需要找到這樣的參數k ，使得表達式Θ(n log b a log k n)將成為Θ(log n) 。 在這種情況下， k=1將滿足要求。 您需要進行匹配才能獲得所需的表達式形式。 更具體地，它類似於求解方程log k n = log n為k 。