主定理 f(n) = nlogn

Question

我正在研究算法簡介，第 3 版中的問題 4-3。 我被要求找到 T(n) 的漸近上限和下限：

T(n) = 4T(n/3) + n lg(n)

我在網上瀏覽了解決方案，解決方案說：

由大師定理，我們得到 T(n) ∈ Θ(n ^{log ₃ (4)} )

我相信該解決方案假設 n ^{log ₃ 4}漸近大於 n lg(n)？ 但為什么這是真的？ 如果有人能幫助我理解，我將不勝感激！

Answer 1

通俗地說：

我們需要將n*log(n)增長與n^1.25 ( log3(4)~1.26 ) 進行比較

將兩個函數除以 n

  log(n) vs n^(1/4)

兩者都在增加。
兩個函數的導數

  n^(-1)  vs n^(-3/4)  

第二個的導數顯然更大，所以第二個函數增長得更快

我們可以看到這些函數的圖相交，並且對於大 n 值，冪函數變得更大 - 對於任何power>1