主定理：f（n）包含log的負冪時的問題

Question

所以我使用Master定理計算以下函數的平均大小寫復雜度：

T(n) = 2T (n/2)+ n/ log n

根據http://people.csail.mit.edu/thies/6.046-web/master.pdf問題7，

它說

不適用（f（n）和n ^{log _b}之間的非多項式差異^a ）

這個答案也支持pdf，說NO。

然而，在這個視頻教練在12:26解決了同樣的問題，他出來了答案

Θ(nloglogn) 

任何人都可以解釋哪一個是錯的 ， 為什么 ？

Answer 1

他們都是對的。 PDF中的主定理不適用，但視頻中的講師正在使用涵蓋您案例的擴展形式的主定理。

我無法找到對視頻中版本的任何真正好的引用，這不是我學到的版本，但有一個在線證明： http ： //homepages.math.uic.edu/~leon /cs-mcs401-s08/handouts/extended_master_theorem.pdf

Answer 2

正如Matt Timmermans正確指出的那樣，該陳述並未遵循主定理，但它確實遵循了它的擴展版本。

使用樹方法直接解決這個問題非常簡單。

從T（n）= 2T（n / 2）+ n / log n開始 ：

• 級別0具有1個節點，其值為n / log（n） 。

• 級別1有2個節點，每個節點具有值（n / 2）/ log（n / 2） 。

• ...

• 級別i有2個ⁱ節點，每個節點都有值（n / 2 ⁱ ）/ log（n / 2 ⁱ ）

簡化，級別i貢獻n /（log（n） - i） 。

注意，總共有~log（n） - 1個級別來達到常數。

因此，所有級別的總和是Σi _{= 0} ^{~log（n）-1} [n /（log（n） - i）]~nΣi _{= 0} ^k [1 / k] ，

對於k = log（n） 。

注意，sigma是第k個諧波系列，其為Θ（log（k）） 。 設置k = log（n）總共得到nΘ（log（log（n）））=Θ（n log（log（n））） 。