用log n求解主定理：T（n）= 2T（n / 4）+ log n

Question

我目前正在嘗試用主定理解決這種關系：

T（n）= 2T（n / 4）+對數n

我已經知道a = 2和b = 4，但是我對log n感到困惑。

我的腳本說：c（n）（此處將為log n）是Big O（n ^ d）的元素。

如果我能在這里找到我的d，我將比較a和b ^ d以找出我的主定理案例。

但是，由於它在此處登錄為n，因此我不確定其Big O表示法。

我的意思是我可能會說這是O（n ^1/2 ）的元素，這將導致第二種情況，其中a和b ^ d是相同的，但它也是O（n ¹ ）的元素，那么它將是又是另一種情況。

Answer 1

一個有用的事實是，對於任何ε> 0，我們都知道

log n = O（ ^nε ）。

我們也知道

log n =Ω（1）

讓我們看看這是否告訴我們什么。 我們知道，對於任何ε> 0，您的復發都受此限制。

S（n）= 2S（n / 4）+ ^nε

讓我們在這里使用主定理。 我們有a = 2，b = 4，和d =ε。 我們需要推理出log _b a = log ₄ 2 = 1/2以及與d =ε的關系。 讓我們將ε減小-例如，讓我們選擇ε= 0.000001。 然后我們有log _b a <d，所以主定理說運行時間為

O（n ^{log _b a} ）= O（n ^1/2 ）。

接下來，考慮以下遞歸關系：

R（n）= 2R（n / 4）+ 1

這種復發會降低您的復發率。 使用主定理告訴我們，R（n）=Ω（n ^1/2 ）也是。

總體而言，我們看到您的復發率是O（n ^1/2 ）和Ω（n ^1/2 ），上下限將您的復發率分為較大和較小的復發率。 因此，即使Master Theorem在這里不適用，您仍然可以使用Master Theorem聲明運行時間為Θ（n ^1/2 ）。

希望這可以幫助！